作者FATTY2108 (阿肥好想进台大呀)
看板trans_math
标题[定积分](0~2π)∫(1/4)(1-cost)^4(cost)^2dt
时间Tue May 11 14:02:19 2004
[定积分] (0~2π) ∫(1/4) [(1-cosθ)^4] * [(cosθ)^2] dθ
发信站: 无名小站 ( telnet://wretch.twbbs.org ) vivion 是题目提供者
※ 引述《vivion (没学校念了../@_@\)》之铭言:
> 2π
> ∫ (1/4)*[(1-cosθ)^4]*[(cosθ)^2]dθ
> 0
上下限 0~2π应该可以用复变做(我不会)..........请教 众大狮 吧
上下限 0~2π.......在初等微积分时,注意
对称和周期
2π
∫ (1/4)*[(1-cosθ)^4]*[(cosθ)^2]dθ
0
^^^^^^^^^^^^^
半角代换
2π
∫ 16*(1/4)*[[sin(θ/2)]^8]*[(cosθ)^2]dθ
0
化简
2π
∫ 4*[[sin(θ/2)]^8]*[(cosθ)^2]dθ
0
令θ=2u
π
∫ 8*[sin(u)]^8*[cos(2u)]^2 du
0 ^^^^^^^
cos(2u)=1-2(sinu)^2
代入後展开 [1-[2(sinu)^2]]^2 再整理一下
π
8 ∫[sin(u)]^8 - 4[sin(u)]^10 + 4[sin(u)]^12 du
0
因为图形对称 u=0.5π
0.5π
16 ∫ [sin(u)]^8 - 4[sin(u)]^10 + 4[sin(u)]^12 du
0
这有公式......代公式吧(公式由Beta函数导出)
π 1*3*5*7 1*3*5*7*9 1*3*5*7*9*11
16 ---- [--------- 一4 ----------+ 4 --------------- ]
2 2*4*6*8 2*4*6*8*10 2*4*6*8*10*12
化简
(49π)/32
--
有错请指正 n
lim(谢谢) ←
n→∞ 我呀肥阿
↓真 是↑
的真的不
→
※ 编辑: FATTY2108 来自: 140.119.66.65 (05/11 14:12)
1F:→ Kazarinov:应该没错....推.... 推 222.156.18.239 05/11