学算四十年 陈省身 本文原载於传记文学第五卷第五期，作者为中央研究院院士，本所开创时期的负 责人，现任教於加州柏克莱 (Berkeley) 本部，公认为当代少数大数学家之一。其成就国 人早已熟知，本刊转载此文，意欲读者透过本文捕捉半世纪来中国数学演进的概略，更藉 此得到一点激励。 ──编者按 在国外一住十几年，每天与同行切磋乐而不疲，不觉象牙之塔的寂寥与讽刺。这次回国， 得与戚友家人小聚，引起了半生的回忆，真如一梦。一生有幸，得与许多当代中外数学大 师，有或深或浅的交谊。在数学渐受社会重视的今日，有些史实，或者是大家所乐闻的。 我是一九一一年十月廿六日生在浙江嘉兴。幼时因为祖母锺爱，一直不上学。家中有时请 先生来教，但并不是长期的。我最初期的国文，是一位未出嫁的姑母教的。 我父亲游宦 在外。记得有一次他回家过年，教了我阿拉伯字母及四则算法。家里有一部「笔算数学」 上中下三册，他走後我自己做里边的题目。题目很多，我想除了 一些最难的，我大多会 做。我以为这种题目别的小孩一定也都会的，根本没有告诉人。 等到一九一九年秋天，祖母觉得我实在不该不上学了，就把我送到县立小学，大约是插入 小学四年级。三、四年级在同一教室，共有约三十个学生。 第一天家里送午饭在教室吃 ，同学都走光了，独自吃饭。觉得很凄凉。等到四点钟下班前，不知为了什麽，教员拿了 戒尺，下来把每一学生打一下至四下不等，只有 我未被打。大约我这一天实在老实，没 有被打的理由。 这样一来，我不肯再去学校了。在家又玩了一年。次年（一九二○年）去投考教会办的秀 州中学高级小学一年级。那时我的国文程度是中等，但是做过笔算数学的习题的人，应付 数学考试，自觉裕如，所以就考入了秀州。 一九二二年秋天，我父亲在天津法院任事，决定把全家搬到天津。我们在天津的河北区， 附近有交通部办的「扶轮中学」。冬天就插班入扶轮中学一年级。现在在中央党部任职的 詹纯监兄，和我在扶轮同班。我们在一九二六年中学毕业。直到今年（一九六四）才再见 。 我在扶轮的一级，是所谓的「旧制」四年毕业。毕业前一年，我父亲的朋友钱宝琮（琢如 ）先生来南开大学任教授。钱先生专治中国算学史，在这方面是很有创见的。他一人住南 开，有时来我家，就谈到我的升学问题，进南开就成为可能性之一。 扶轮的同学大部份为铁路员工子弟，大多是预备毕业後谋铁路工作的。因比升学的对象不 外是南洋大学、唐山和北京交大。因为同学的影响，我的第一志愿是唐山大学。 但是当时有两件事情，影响我升学的选择。第一是当时华北的政治军事局面不安定，连北 京到渖阳的铁路线都时断时通，投考须遇交通困难。第二是我祖母在那年（一九二六）夏 天去世，家中正办丧。 结果我留在天津，投考了南开和北洋大学。因为只上过四年中学，北洋只准我考预科，南 开准许我考本科，等於跳了两班。这自然对我後来之进南开，有很大的关系。 考南开怕是躁进，因为我的准备不足。数学的主要科目是解析几何，我根本没有学过。我 在扶轮所学的物理化学也不够。家中正遭祖母丧事，乱得不堪，但是竟考取了。事後钱琢 如先生告诉我说我的数学考卷是第二名每逢考试我的数学是王牌，它总是把我的平均小数 拉上去的。 南开理学院分数学、物理、化学、生物四系，分由姜立夫、饶树人、邱宗岳，李继侗四位 先生主持。那些系差不多都是「一人系」，除他们四位外教授很少。父亲同我都不知道有 些什麽东西可读，也不知道毕业後有什麽事好做。不过觉得物理似较切实，所以入学时倾 向於物理系。 因为实际上跳了两班，初进大学时是有些困难的。 我选了一门定性分析，是邱宗岳先生教的，助教是赵克捷先生，外号赵老虎，以严厉着名 。我第一次上化学实验，被指定一个柜子。内有些化学仪 器。同时接到一个单子，上有 这些仪器的英文名字。我们第一件事是对照所得仪器是否完全。我的实验经验，差不多是 没有的，根本不知道单上名词与栏中仪器的对 应关系。当天指定的工作是吹玻璃管，我 自然弄不好。幸亏化学系有一位职员在试验室，在将结束实验前代我吹成了一些。我拿着 玻璃管觉得还很热，就用冷水一 冲，於是前功尽弃。 回来想了几天，觉得无论如何化学是读不下去了。结果退选化学，改选一门初等力学。当 时南开第三年才分系，不过我因为不愿读化学，所以在理学院只剩数学系可进。 那年姜立夫先生请假去厦门大学，数学系只有钱先生一人。我的微积分、力学都是钱先生 教的。饶先生学贯中西，但是物理学牵涉太多，我读不好。惟每跟数学有关，我就没有困 难。因此对於物理的基本概念，虽然没有读懂，及格是没有问题的。 一年级的生活，在我是很舒服的。微积分、力学两课，只要做些习题。国、英文则读不读 对於成绩不发生太多影响。物理只有一堂实验，费些功夫，对於他的内容，无意求深切了 解。我做实验，只作几个基本度量，余时只凑答数，所以结束得很快。但藉此倒可了解一 些课程的内容。 在台北时有一位记者先生问我如何决定读数学的。我说中英文都不好，又不会做实验，就 只好读数学。这个答案实相当近真。现在想来，我的读书路线，实在是早就确定的。比之 多才多艺的人，我的选择问题，较简单，一生受此益处不浅。 那一年的时间，用於看小说杂书者不少；也时常替人作文。我的中英文虽然都不好，但还 有不如我的人。我动笔很快，一写两三篇，把好的一篇留给自己，其他的送人。但有时人 家反比我得更好的分数。一年级时我的朋友大都是成绩不顶好的，我时常替他们做种种的 作业，以消磨时间。 一九二七年我的读书生活与态度有很大的改变。那年姜立夫先生回南开。姜先生在人格上 、道德上是近代的一个圣人（记得胡适之先生在独立评论的 一篇文章上也曾如此说过） 。他态度严正，循循善诱，使人感觉读数学有无限的兴趣前途。南开数学系在他主持上图 书渐丰，我也渐渐自己能找书看。 另一个至少受同样影响的人，是同级级友吴大任（大猷的堂弟）。大任是绝顶聪敏的人。 他在南开中学毕业，得四年奖学金免考升入大学，他什麽功 课都好。第一年由南开中学 升大学的人，常互相聚在一起，我同他们较少接触机会。但从二年级起直到毕业，我同大 任几乎形影不离。大猷比我们高一班，人比我们 成熟，所以虽然同班上一些课，而也很 相熟，但在一起的机会，没有这样多。 一九二七年左右的中国数学界是很贫弱的。那时北方北京大学有冯祖荀（汉叔）先生，南 方则东南大学有留法前辈何鲁、段调元、熊庆来各位先生。 中国人以数学为主科在国外 得博士学位的只有胡明复、姜立夫二先生（均在哈佛）。明复先生对组织中国科学社及编 印「科学」杂志功劳甚大。可惜他回国不久，就 去世了，对於发展中国数学，不能有更 大的贡献。他的论文和俞大维先生关於数理逻辑的论文，似是中国人在国外主要数学上最 早发表的文章。 南开的数学系那时以脚踏实地见长。姜先生教书是极认真的，每课必留习题，每题必经评 阅。在我进南开前，他所训练的学生刘晋军、江泽涵那时都在哈佛读书，申又枨则留校任 教员。可说新的一代渐渐崛起。 在那段时期，吴大任同我是数学系最好的学生。姜先生很高兴，开了许多在当时认为高深 的课，如线性代数、微分几何、非欧几何等等。我的基本数 学训练都是姜先生口授的。 我性喜浏览，等到一九三○年毕业时还读过若干杂志上的论文。段茂澜先生教我德文和法 文，都达到了能读数学书的程度。 这几年清华因改为大学而突飞猛晋。一九三零年我在南开毕业那年，清华决定办研究院。 我看清楚要深造必须出国留学，但家里不能供给我，所以必 须要找公费。清华偶然招公 费生，但并不每年举行，名额中也不一定有数学。清华研究院规定，毕业後成绩优秀者可 派送留学。所以大任与我经多次商讨後都去投考 清华。 我去清华的另一个目的，是想跟孙光远先生做点研究。孙先生南京高等师范毕业，芝加哥 大学博士，专攻「投影微分几何学」。他是当时中国数学家 中唯一在国外发表论文的， 也是第一个中国数学家，在博士论文後继续写研究论文的。在他的指导下，我在一九三二 年《清华理科报告》发表第一篇研究论文。以後 又继续写了两篇这方面的论文，都发表 在《日本东北数学杂志》。 大任同我都考取了清华研究院。但他因家庭关系，改就广州中山大学助教。清华数学系因 为只有我一个研究生，决定延办研究院，改聘我为助教，所 以我到一九三一年才做研究 生。因为是第一年考取的，我的学号是零零二，有时成为朋友们的谈话资料，其实学号是 照姓名英文拼法的字母排的，并无其他含义。 清华渐成国内最高学府之一，尤以理学院为然。数学系教授有熊庆来、孙光远、杨武之及 我後来的岳父郑桐荪先生，教员有周鸿经、唐培经先生。学生很多优秀者，如庄圻泰、许 宝騄、柯召、徐贤修诸位。 孙光远先生率直天真，相处甚欢。我用许多时间读投影微分几何的论文，可惜那只是数学 的一旁支。投微的研究当时已到结束阶段，我渐觉得它的肤 浅。但是後来在这方面又写 了几篇论文，都是难题目做不出时用来调剂心情的结果。那时国内的数学界渐渐注重研究 ，但实在还没有人了解研究的主流所在。 那时清华数学系最引人注意的人物，当数华罗庚。罗庚江苏金坛人，和培经同乡。 罗庚初中毕业後辍学在家，就自修数学，因为同乡关系，他同培经通信，质询数学问题。 有一期《学艺杂志》上一位先生「证明」五次方程式可解， 编者竟登载了。罗庚能把错 误找出，因此数学系决定聘他为图书管理员。他一八三一年来清华，办公桌放在系主任熊 先生办公室外面，不久就成了系里的中心人物。 罗庚是一个十分活跃的人，凡数学讨论 ，系内人事，他无不参与。他是确有数学天才的，每天工作十几小时，所以短期内便有文 章在国外杂志发表。他的腿因幼时患 伤寒症而跛，又因没有上过大学，和大家出身不同 ，以致有高度的不安全感。他在数论、代数、多元复变函数论，都有重要的贡献。关於他 的故事很多。记得有一 次，他的一篇文章，经某德国杂志接受，他站在科学馆前，逢人 握手，告此喜信。 一九三二年胡坤陞（旭之）先生来任专任讲师，胡先生专长变分学，他在芝加哥大学的博 士论文是一篇难得的好论文。旭之先生沉默寡言，学问渊博，而名誉不及他的成就。他不 久改任中央大学教授，近闻已作古人，深念这个不求闻达的纯粹学者。 这个时期，有些国外学者来华访问，数学家有哈佛的 George Birkhoff 及布拉希克 (Wilhelm Blaschke) 先生。布氏是德国汉堡大学的教授，有名的几何学家。他做了一组 演讲，题目是「微分几何的拓朴问题」。演讲的内容深入浅出，大开眼界，使我深切考虑 到去汉堡 读书。 在清华四年（一九三○至三四）读书不太紧张，但亦未太荒废时间。自然多读了些书，也 学会了写投影微分几何的文章。那段时期确定了微分几何为 自己研究的方向。微分几何 的出发点是微积分在几何学上的应用，有三百多年的历史。自从爱因斯坦的普通相对论以 後，大家想从几何里找物理的模型，不少几何学 家在那里工作，可惜至今成就不大。 微分几何的正确方向是所谓「大型微分几何」，即研究微分流形上的几何性质。它与拓扑 学有密切关系，其系统研究，那时刚才开始。这是在清华时始终憧憬着的方向，但未曾入 门。那时候的心情，是远望着一座美丽的高山，还不知如何可以攀登。 一九三零年以後，国内数学界有长足的进步。许多在国外留学而有成就的学生回国了。北 大有江泽涵、申又枨先生，浙大有陈建功、苏步青先生，其 他如中央、中山、武汉等数 学系标准都提高了。尤其浙大在陈、苏二先生主持下，学生甚多，工作极勤。可惜他们采 取的态度，可名为「学徒制」，学生继续做先生 的问题，少有青出於蓝的机会。要使科 学发展，必须要给工作者以自由，这是值得深思的。 一九三四年夏我毕业於清华研究院，得到两年公费的机会。清华公费普通是留美，但我得 到准许，留德去汉堡大学。汉大是第一次战後才成立的，但 数学系已很有名。那年希特 勒获得政权，驱逐犹太教授，德国的老大学如哥丁根、柏林等都闹学潮。汉堡数学系幸而 比较局面安静而工作活跃，不失为数学家理想的去处。 汉大数学教授除布拉希克 (Blaschke) 外，尚有阿丁 (Artin)、Hecke 二人，其中尤以阿 丁氏最为特出。他是近代抽象代数开创者之一。但他的兴趣及於整个数学。他的演讲与论 文，都是组织严密，曲折不穷。难懂的理论，经他整理， 都变成自然。他二十多岁即任 正教授，为人随和，看起来像学生。 我九月到汉堡，学校十一月才开学，十月初布先生渡假归来，给我他所新写的几篇论文。 我不到开学，就找出他一篇论文里一个漏洞。他很高兴，叫 我想法补正，我也居然做到 了，结果写成在汉堡的第一篇论文。德国大学制度，博士学位的主要条件是论文，指导的 教授差不多可以完全决定学位的授予。我总算初 见就给布先生一个好的印象。 汉堡立刻成了中国学数学者的圣地。姜立夫先生那年恰好休假，来了汉堡。其他有曾炯之 、程毓淮、周炜良等。曾、程二兄已在哥丁根得了博士。炯 之是女数学家 Emmy Noether 的学生。他的论文是有名的「曾氏定理」，在代数几何中是一个有基本性的贡献 。炯之为人直爽诚恳，没有人不喜欢他，不幸在抗战时死於四川西昌。 Noether 先生是 抽象代数领导人之一，大家公认为女性中最伟大的数学家，放在男性数学家中也绝对是第 一流的。 一九三五来汉堡的有吴大任。他考取第一届留英公费，从伦敦大学转来汉堡。张禾瑞、袁 炳南、金再鑫等也陆续而来。大任的夫人陈[受鸟] 亦习数学。布先生时常旅行，数学上 同我接触最多的是开勒 (E. Kaehler) 博士。开勒先生那时刚完成他的一篇论文，後来称 为「开勒空间」的即此论文之发现。他是布先生的助教，他学问渊博，态度谦和，工作上 正在突进的时期。他写了 一本小书「微分方程组论」，发挥法国大数学家卡当 (Elie Cartan)的理论。书中的基本定理，後来称为「卡当开勒定理」，开勒先生领导一讨论班 ，共读他的书。但是这理论太复杂了，开先生又不善於讲书，结果如 一般讨论班的命运 ，参加者愈来愈少。我则「抗战到底」，所以也许是最受益处的人。 从此讨论班我逐渐认识卡当的伟大数学天才。卡当先生的论文以难读出名。我渐渐习惯於 他的想法。觉得实在是最自然的。我的博士论文是卡当方法在微分几何上的应用，是一篇 脚踏实地的工作，但无惊人之处。我的论文一九三五年就完成了，因为布先生返德，一九 三六年初才正式得学位。 周炜良先生因为後来的周太太是汉堡人，所以虽在莱比锡注册，几乎常常住在汉堡。他一 九三六年夏天得博士。他的论文的内容，後来在代数几何中称为「周氏坐标」是一个重要 的成绩。 从现在的标准讲，汉堡是一个规模不大的中心。但他有第一流的领导者，因之有优秀的学 生。两年在汉堡的留学生活，就我来讲是快乐的。 一九三六年夏我的公务期满，就接到清华与北大的聘约。我却决定去巴黎随卡当先生工作 一年。那年得到中华文化基金会的补助。这於我在数学研究 发展上确是有决定性的一年 。卡当先生不但是一个伟大的数学家，他为人和蔼随便，也是最好的教员。他是巴黎大学 的几何学教授，学生众多，在他办公时间，候见 的要排队。幸亏过了两个月，他允许我 到家里去看他。我每两星期去他家里一次，回来的第二天往往接到他的长信。继续表示前 一天所讨论的问题的意见。在巴黎十 个月，工作异常紧张，所得益处，不限於那时的文 章所能表现者。 一九三七年夏离法经美返国，去清华任教授。不幸未离巴黎，芦沟桥事变已爆发。行程虽 未改变，心情不免沉重。归国後经香港、长沙，而至昆明， 在西南联大六年，抗战生活 ，不在本文叙述范围之内。所可说者，我身边带了一批卡当及其他数学家的论文复印本， 所以虽在播迁，工作不全辍废。而学校在战时不 正常，反给我更多的时间，可以从事工 作，研究论文仍旧继续发表。我当时在国内跻列群贤中，被看作数得上的数学家，即在国 际，亦渐为若干人所知。但对於工作 成就，衷心深感不满，不愿从此默默下去。 我一九四三年由昆明去普林斯顿是一生的大决定。那时大战方酣，中美交通困难。一个可 能的路线是从昆明飞印度，再坐船经好望角泛大西洋赴美。 想到德国潜水艇的活跃，这 条路线自然有相当危险。但我决心赴美，不顾一切困难。Veblen 先生欣赏我的工作，给 我弄到经济援助。结果我於七月中坐军用机，用了七天功夫，经印度、非洲、南非洲，至 迈阿密。 到普林斯顿後立刻做了一个确是极重要的工作，就是所谓 Gauss-Bonnet 公式的新证明。 两年功夫发表了几篇在微分几何学方面精心独诣的文章。所谓「陈氏特徵类」(Chern characteristic class) 等都是那时候做的。当代最伟大的几何家霍甫 (Hoeinz Hopf) 先生，评论我的一篇论文时说「微分几何进入一新时代了」。 战後於一九四六年春返国，奉命组织中央研究院的数学研究所。数学所名义上由姜立夫先 生任所长。但姜先生只在南京几个月。从四六到四八，一切 计划，都是由我主持的。我 的政策是「训练新人」。我收罗大批新毕业的大学生，每周上十二小时的课，引他们入近 代数学之堂奥。所中研究员有胡世桢、王宪锺、 李华宗等先生，助理员甚多，後来有特 殊成就的，有吴文俊、杨忠道、陈国才、廖山涛、张素诚等。我很高兴，现在的数学所， 仍旧继续着这个提携新进的政策。 在结束本文之前，不觉有两点感想。 第一，平生中外师友，有不少比我能力高的，结果 成就或不如我。我很力於吾国两句平常成语自励，即「日新日日新」的精神和登峰造极的 追求。问题选重要的做， 虽大多无成，失败远多於成功，而所得已稍足自慰。杨武之先 生赠诗谓「独止遥登百丈楼」，誉不敢承。然论为学态度，则知已深谛我心也。 第二，香港中文大学有一位英国先生跟我说，你们中国还没有自己训练成的第一流科学家 。李济之先生也说过，科学在中国没有生根，我都有同感。其实中国训练成的第二、三流 科学家有几人？日本汤川教授在做成 meson 的工作以前，没有离开过日本。相形之下， 当知努力所在了。 --

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