※ 引述《buffalobill (水牛比尔)》之铭言： : 想到就po : PuzzleUp风味题 : 先说这题我写程式算的 : 纸笔的话我还不知道如何列式子…… : 【掷骰算分】 : 掷一枚公正骰子六次，并计算分数 : 分数的计算规则如下： : 第1次掷骰：掷出的点数即为起始分数 : 第2~6次掷骰：与上一次掷骰作比较 : 若比上次掷骰点数高，则分数+1 : 若比上次掷骰点数低，则分数-1 : 若与上次掷骰点数相同，则分数加倍 (分数可小於0) : 问：若第一次掷骰点数为2，则六次掷完分数的期望值为何？ : 以最简分数作答 : 若只掷两次，则期望值为 17/6 令 f(s, d, n) = "现在是 s 分，上一次的点数为 d ，还可以骰 n 次" 的期望值 f(s, 1, 1) = (7/6)*s + 5/6 f(s, 2, 1) = (7/6)*s + 3/6 f(s, 3, 1) = (7/6)*s + 1/6 f(s, 4, 1) = (7/6)*s - 1/6 f(s, 5, 1) = (7/6)*s - 3/6 f(s, 6, 1) = (7/6)*s - 5/6 观察到 s 的系数都是 7/6 ，令常数为 b_{1,1}, b_{2,1}, ..., b_{6,1} 则 b_{1,1} = -b{6,1}, b_{2,1} = -b_{5,1}, b_{3,1} = -b_{4,1} 假设: f(s, d, n-1) = a_{n-1} * s + b_{d,n-1} 且 b_{1,n-1} + b_{6,n-1} = b_{2,n-1} + b_{5,n-1} = b_{3,n-1} + b_{4,n-1} = 0 (在 n-1 = 1 时，假设成立) 则: f(s, 1, n) = (1/6)*( f( 2s, 1, n-1) + f(s+1, 2, n-1) + f(s+1, 3, n-1) + f(s+1, 4, n-1) + f(s+1, 5, n-1) + f(s+1, 6, n-1)) = (1/6)*( a_{n-1}*2*s + b_{1,n-1} + a_{n-1}*(s + 1) + b_{2,n-1} + a_{n-1}*(s + 1) + b_{3,n-1} + a_{n-1}*(s + 1) + b_{4,n-1} + a_{n-1}*(s + 1) + b_{5,n-1} + a_{n-1}*(s + 1) + b_{6,n-1}) = (1/6) * ( 7*a_{n-1}*s + 5*a_{n-1} ) 同理， f(s, 2, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 3*a_{n-1}) f(s, 3, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 1*a_{n-1}) f(s, 4, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 1*a_{n-1}) f(s, 5, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 3*a_{n-1}) f(s, 6, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 5*a_{n-1}) ==> f(s, d, n) = ((7/6) * a_{n-1}) * s + b_{d,n} b_{1,n} = b_{1,1} * a_{n-1} b_{2,n} = b_{2,1} * a_{n-1} b_{3,n} = b_{3,1} * a_{n-1} b_{4,n} = b_{4,1} * a_{n-1} b_{5,n} = b_{5,1} * a_{n-1} b_{6,n} = b_{6,1} * a_{n-1} --> 方程组 (A) 且 b_{1,n} + b_{6,n} = b_{2,n} + b_{5,n} = b_{3,n} + b_{4,n} = 0 成立 由数学归纳法我们可以知道 方程组(A) 对所有 n >= 1 都成立。 且 a_n = (7/6)^n 题目所求 = f(2, 2, 5) = a_5 * 2 + b_{2,5} = (7/6)^5 * 2 + (3/6) * (7/6)^4 後记 (马後炮解释为什麽会有漂亮的公式): 如果一开始的分数是 s ，接下来，除了骰到同点数分数加倍之外，所以有情况 都是在影响常数项。而且加倍的机率和现在的点数无关，一定是 1/6 。 如果我们把 +1, -1 改成 +0, -0 的话，g(s, d, n) = (7/6)^n * s (我们用 "g" 来表示这个改过规则的游戏) 而 +1 -1 的部份，可以想像我们从 +1 分或 -1 分开始玩，再玩 n-1 轮。 这部份的期望值和 s 无关，只和 d (现在的点数), n (还有几轮) 有关 所以 f(s, d, n) = (7/6)^n * s + b_{d,n} 而 b_{d,n} 的部份，b_{d,n} 和 b_{7-d,n} 是对称的游戏。 把"若比上次掷骰点数高，则分数+1"和"若比上次掷骰点数低，则分数-1"交换， 相当於把点数重新指定(把骰子的 X 和 7-X 交换) 所以 b_{d,n} + b_{7-d,n} = 0 其实也不意外。 而且，因为 b_{d,n} + b_{7-d,n} == 0 ，就代表下一轮 (b_{d,n-1}) 的贡献 会两两消掉，所以 b_{d,n} 只和 d 和 a_n 的值有关 (也就是这一轮有多少机率会 +1 或 -1 ，而 +1 和 -1 会如何被未来的游戏放大) 而且不论这一轮是骰到 +1 或 -1 ，放大的系数都是一样的，都是 a_{n-1} ==> b_{d,n} = (+1, -1 的期望值) * a_{n-1} b_{d,n} = ((7 - 2 * d) / 6) * a_{n-1} (如果我们硬要写成公式的话) --

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