363. Bézier Curves http://projecteuler.net/problem=363 所谓的 cubic Bézier curve (三次贝兹曲线) 是由四点个 P0, P1, P2 和 P3 定义的。 这个曲线是这样被定义的： 分别在线段 P0P1, P1P2, P2P3 上取点 Q0, Q1, Q2 使得 P0Q0/P0P1 = P1Q1/P1P2 = P2Q2/P2P3 = t； 分别在线段 Q0Q1, Q1Q2 上取点 R0, R1 使得 Q0R0/Q0Q1 = Q1R1/Q1Q2 = t； 在线段 R0R1 上取点 B 使得 R0B /R0R1 = t。 当 Q0 在线段 P0P1 上移动时(即当 t 取遍 0 到 1 的所有实数时)， B 所经过的轨迹即为由 P0, P1, P2, P3 定义的贝兹曲线。 网页中的 Applet 可以让你拖动 P0, P1, P2, P3 及 Q0 的位置来更加了解其构成。 容易得知这样子得到的曲线会和线段 P0P1 切於 P0, 和线段 P2P3 切於 P3。 考虑由 P0 = (1,0), P1 = (1,v), P2 = (v,1), P3 = (0,1) 定义的贝兹曲线 来近似一个 1/4 圆弧。 v 的值选得让这个曲线和 OP0, OP3 两个直线所围成的面积为π/4 (即 1/4 单位圆面积)。 问这曲线的长度相对於一个 1/4 圆弧多了多少百分点？ 也就是说，若 L 为这样的曲线长度，求 100 * (L - π/2) / (π/2)。 答案四舍五入到小数点第十位。 -- 连续两周难题所以这一周是很数学的题目 XD (我只抢到第 66 名, 前 50 都没进... u 大倒是进了第 25) 基本上这正是现在一些地方 (例如 Flash) 里面使用贝兹曲线近似圆的方式 (之所以是近似是因为圆无法分段用贝兹曲线描述) 在那里一个圆会被描述成由像这样的四条 1/4「圆弧」所组成的 不过当你求出答案之後就会发现面积相等时长度差其实非常微小 因此在我们看起来它就和一个 1/4 圆弧没什麽两样 除非放到非常大的地方时才会感觉有差异 而这样做有计算上的好处 在画圆时的参数式不是 sin 和 cos 而是一个三次多项式 (这个多项式正是这种贝兹曲线被称做「三次贝兹曲线」的原因 在计算这题时因为要求弧长所以必须求出来 就不多说了) 在计算时间和准确度上能够更好 同样的可以定义其他次数的贝兹曲线 原题目里的 R0 和 R1 的轨迹正各是一个二次贝兹曲线 话说回来, 其实平常在用的近似圆的贝兹曲线不是题目这一条 而是让曲线中点在圆上的那一条 (v = 4(√2 - 1)/3) 这个面积多了约万分之三 长度多了约万分之一点五 但是计算比题目这一条方便多了 -- 话说 362 题的文章怎麽消失了 0.0? -- いああオレたちには见えてるモノがあるbデ きっと谁にも夺われないモノがあるはずさ け 开口一番一虚一実跳梁跋扈形影相吊yュL羊头狗肉东奔西走国士无双南柯之梦 歪も ぶ 　意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの く 依依恋恋空前絶後疾风怒涛有无相生 ラH急転直下物情骚然愚者一得相思相爱 だが ろ 无意味じゃない ラ6あの意図が 恋た で 有为転変死生有命苍天已死黄天当立 !!6五里雾中解散宣言千错万综则天去私 のり --

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