: : 【题目】已知 0≦X0<1 设 Xn+1 = 2*Xn if 2Xn <1 : : = 2*Xn - 1 if 2Xn ≧1 : : 则有____个X0 能符合条件 X5 = X0 : : A. 0 B. 1 C. 15 D. 31 E. 无穷多个 : : ( 1993 美国AMC12 ) 先写规规矩矩的解答，这个解也和前两位的解法等价，只是琐碎一点。 依据题义可以设 Xn+1 = 2*Xn - [2*Xn] , []代表高斯记号。 X5 = 2*X4 - [2*X4] = 4*X3 - 2*[2*X3] - [4*X3 - 2*[2*X3]] = 4*X3 - 2*[2*X3] - [4*X3] + 2*[2*X3] = 4*X3 - [4*X3] 绿色部分的验证可以分成 X3€[0,1/4), [1/4,1/2), [1/2,3/4), [3/4, 1) 四种情况均恒等无误。 依此类推有 X5 = 32*X0 - [32*X0] = X0 因此得到 31*X0 = [32*X0] 是一整数 k ， X0 = k/31 由於 X0<1 k= 0~30 故有31解无误 (以下是拙作，图解法) 为避免图形复杂，简化成 X1=X0 的简单情形 数线: 0 1/2 1 ├────┼────┤ 迭代事实上是一种映射关系。 观察到位於 [0,1/2) 区间的点经1次迭代会位在 [0,1)区间某处。 T 事实上，[0,1/2) ─→ [0,1) 是线性映射(就是x2)，元素是1对1。 而 [1/2,1) 一样 映射到 [0,1) (是x2-1)，1对1。 0 1/4 1/2 3/4 1 将数线四等分 ├──┼──┼──┼──┤ 或八、十六、三十二等分的结果是一样的。原题就是32个区间，各自映射到[0,1)。 NOTE:每个区间的映射法，正是前两位解法中的 32a - n 结论是根据巴纳赫不动点定理(压缩映射，必存在唯一个不动点) 那解必然是每个区间一个，共32个解...等等，怎麽会这样??????? 那就是utomaya大在文章中提到的0.1111...等於1的问题。也就是上面每题，数线最後 一个区间的不动点是一个无穷接近1但不是1的数 (谜音: 那他就是1，拖出去)。因此 该区间没有解满足条件。 因此32个区间只有31个解。 另外，构造这些解的方法 utomaya大 上篇文中已经写出来了。 ----------------------------------------------------------------------------- 後记：解答写一写，没想到却发现每个人的解答都是相关联的。真是法门万变不离其宗。 当初准备考AMC12时解的考古题，昨天回去看发现完全看不懂过程。 因为计算处只画了一个数线 0 1/4 1/2 1 ├...┼───┼───────┼────────┼────────┤ 然後在接近左边的地方每格里面打了一个x 我很确定当时不知道啥小巴拿赫不动点定理，因此以上算是我重新发掘解法的过程。 谢谢terrorlone、etrexetrex、utomaya的回答^^y --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 218.164.15.141 我突然觉得同余式或者 n进位 在解题时是很威的工具。 ※ 编辑: jurian0101 来自: 218.164.15.141 (02/03 18:02)