作者penguin7272 (企鹅)
看板puzzle
标题Re: [问题] 数学题（P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2）
时间Sat Jan 30 23:08:38 2010
※ 引述《jurian0101 (小维)》之铭言：
: 有一个实系数多项式 P(x) ， deg P(x)= 2n (n是正整数)
: P(x)的值域是 正实数集。
: 试证明总可以找到某对 实系数多项式 Q(x)、R(x)，
: 使得 P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2
防雷
因为P(x)的值域是正整数
所以P(x)=0没有实根
若a+bi是方程式P(x)=0之一根
x=a+bi → (x-a)^2+b =0
P(x)可以分解出(x^2-2ax+a^2+b)这个因式
同样的我们可以把P(x)分解成很多二次式的积
且这些二次式判别式都小於0
注意到这样的二次式可透过配方表示成两个实系数多项式的平方和
像 x^2+2X+5 = (x+1)^2+(2)^2
又(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
表示两个可表示成两平方和的式子相乘仍可表示成两平方和
用数学归纳可知P(x)可以表示成两平方和
QED
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刚看到的时候一直朝用x^n配方去想
忽然发现没有实根就豁然开朗
感觉是很可爱的一个题目欸
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 219.71.200.27
1F：推 puzzlez:可爱= = 光看题目就昏了@@" 01/30 23:16
2F：推 jurian0101:这题真的很可爱呀。我写一下我的解法> 01/31 20:04
3F：推 jurian0101:在原文後开灯。 01/31 20:36