作者stimim (qqaa)
看板puzzle
标题Re: [问题] 调配奶茶
时间Wed Jan 13 21:26:12 2010
※ 引述《stimim (qqaa)》之铭言：
: 今天看别人在喝饮料时想到的，算是数学应用题：
: 小明买了一瓶300ml的红茶和一瓶300ml的全脂牛奶
: 为了要喝奶茶，他必须要把300ml的红茶和300ml的牛奶混合成600ml的奶茶
: 但是很无奈的，小明手上并没有多余的杯子，因此他这麽做：
: 牛奶瓶大约还有50ml的容量，因此他先将50ml的红茶倒到牛奶瓶中，
: 再从牛奶瓶将50ml的混合夜倒回红茶瓶中。
: 小明深信，只要不断的重复这个步骤，他就可以将牛奶和红茶完全混合。
: 问题来了：
: (a)请问小明的想法对吗？
: (b)如果(a)的答案是"对"，则小明至少要重复几次才可以让牛奶瓶中的
: 牛奶比例降到55%以下？
: 如果(a)的答案是"错"，则小明至少要喝掉多少牛奶和红茶，才可以
: 藉由上述步骤让牛奶和红茶完全混合(喝掉x ml的牛奶就会多出x ml
: 的空间可以混合)
参考解法：
(a)
┌ x ┐
let v = │ │ (一个向量) x是红茶瓶中的牛奶量，y是牛奶瓶中的牛奶量
└ y ┘
┌ 5/6 0 ┐
从红茶瓶倒 50ml 到牛奶瓶 => b = │ │v
└ 1/6 1 ┘
┌ 1 1/7 ┐
从牛奶瓶倒 50ml 回去 => v' = │ │b
└ 0 6/7 ┘
┌ 6/7 1/7 ┐
=> v' = │ │v
└ 1/7 6/7 ┘
若一开始的状态为 v_0 ，重复 n 次操作以後的状态为 v_n
┌ 6/7 1/7 ┐
A = │ │
└ 1/7 6/7 ┘
则有： v_n = (A^n) v_0
而 A 是可对角化的，也就是 A = PDQ
其中 Q 是 P 的反矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的值为A的eigenvalue
┌ 1/√2 1/√2 ┐┌ 1 0 ┐┌ 1/√2 1/√2 ┐
也就是 A = │ ││ ││ │
└ 1/√2 -1/√2 ┘└ 0 5/7 ┘└ 1/√2 -1/√2 ┘
=> A^n = P (D^n) Q
┌ 1 0 ┐
当 n 趋近无穷大 => A^n → P │ │ Q = 每一相都是 1/2 的矩阵
└ 0 0 ┘
┌ (x+y)/2 ┐
=> (A^n)v → │ │
└ (x+y)/2 ┘
=> 不论一开始的状态为何，牛奶都会被平分到两个容器中
故小明的推测正确。
(b) T
v_0 = [ 0 300 ]
T
v_n = 150 [ 1-(5/7)^n 1+(5/7)^n ]
=> 150(1+(5/7)^n) < 300*55%
=> (5/7)^n < 0.1
n (ln5-ln7) < -ln10
n > 6.843313779
=> 至少要倒 7 次
-------------------------------------
应该有办法证明：
只要每次都可以倒一部份的溶液到另外一边，不论多麽少，
在混合次数趋近於无穷大时，两个溶液终究会完全混合。
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1F：推 rehearttw:转移（推移）矩阵。 01/13 21:46
2F：推 isnoneval:反覆操作下浓度递增并有上限, 必然收敛, 剩下就好办了 01/13 21:57
3F：推 jurian0101:马可夫过程XD 01/25 22:10