※ 引述《leads (leads)》之铭言： : ※ 引述《jerrylibra (GO)》之铭言： : : 这一题我算了好久 : : 题目是 有一个2次函数 y=x^2+4ax+b : : 然後有一个区间 -1<x<1 然後对应 -1<y<2 : : 求 a,b是多少? : 推fjufly的讲法 原题的确无解(只考虑情况3 4) : 我把题目视为 : 有一个区间 -1≦x≦1 然後对应 -1≦y≦2 : Y=x^2+4ax+b : =(x+2a)^2+(b-4*a^2) : →可知此为一开口向上之抛物线，且x=-2a时(最低点) : 有极小值y= b-4*a^2 : →极小值可能落於x=-2a处，但极大值必落於x=1或x=-1处 : <情况1> (过最低点 且范围偏右) : -1≦-2a≦1 且-2a<0 : 条件 0<a≦1/2 : 极小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 极大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : 所以a=-1或a=0(皆不合) 算错了 a = -1/2 + √3/2 b = 3 - 2√3 : <情况2> (过最低点 且范围偏左) : -1≦-2a≦1 且-2a>0 : 条件 -1/2 < a<0 : 极小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 极大值f=( -1 )=1-4a+b=2 : 所以a=1/2- √3/2 : b=3-2 √3 : <情况3> (不过最低点 且范围偏右) : -2a<-1 : 条件 a>1/2 : 极小值=f( -1)= 1-4a+b =-1 : 极大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : 所以a=3/8(不合) : b=-1/2 : <情况4> (不过最低点 且范围偏左) : -2a>1 : 条件 a< -1/2 : 极小值=f( 1)= 1+4a+b =-1 : 极大值=f( -1 )=1-4a+b=2 : 所以a=-3/8(不合) : b=-1/2 : <情况5> (过最低点 且范围置中) : -2a=0 : 条件 a=0 : 极小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 极大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : F(-1)=1-4a+b=2 : 所以a=0 : 由极小值:b=-1 : 由极大值:b= 1 : (故 无解) : 所以情况1、3、4、5皆无解 : 本题恰有一解 即 : a=1/2- √3/2 : b=3-2 √3 : 迟来的真相 : http://photo.xuite.net/v22111024 如果条件改成 -1≦x≦1 -1≦y≦2 的话 那我肯定会有两解，一定不只一解 从图形的角度来看很容易就可以证明 二次函数可以改写成 y = A(x+B) + C 其中A是控制抛物线的曲率、形状 B和C只会影响到顶点的位置 原题y=x^2+4ax+b 很明显 A = 1 也就是这个二次函数的图形长得和y=x^2一样，只是因为顶点位置不同，整个平移而已 现在考虑一下y=x^2，假如任取一段x区间为2的线段且不包含顶点 则y的变化量至少也要4 回到原题目 -1≦x≦1 => x区间为2 -1≦y≦2 => y的变化只有3 所以顶点不能超出-1≦x≦1的范围 (leads所说的情况3、4是不合的) 如果顶点在x=0的地方呢? 又可以很容易看出y的变化量最大为1 但y的变化量为3，所以不合 (leads所说的情况5不合) 将图形上下左右移动一下 就会发现只能有两个抛物线合乎题目的条件 其中一条抛物线顶点在-1≦x≦0、另一条抛物线的顶点在0≦x≦1 (leads所说的情况1) (leads所说的情况2) 所以本题有两解 --

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