该公布这题的答案了，因为没有人做这题。 : 那麽接下来是问题了。棋盘的状况如图所示： : : ８ 黑白 : ７　ｐ　　ｐ ｐＰ ＝ 小兵 : ６　　　ｐ ｒＲ ＝ 城堡 : ５　ｐ ｎＮ ＝ 骑士 : ４ ｂＢ ＝ 主教 : ３　ｋＰ ｑＱ ＝ 皇后 : ２　　ＰＰＰＰＰＰＰ ｋＫ ＝ 国王 : １　ｎ　　ｒ　　● : ● ＝ 模仿者 : 　　ａｂｃｄｅｆｇｈ : : 1. 棋盘上的白王被拿掉了，请问它正确的位置在哪里？ : 2. 黑方的两个主教分别是在哪里被吃掉的？ 在这个局面中，乍看黑王面临了不可能的将军， 但是根据模仿者规则，由於模仿者接下来无法模仿 b2xa3 这个动作， 所以黑王在这边不视为被将军。这跟解这题没什麽关系， 只是先回答某些人可能会有的疑惑。 首先注意到底下的黑骑士跟黑城堡， 它们总有一个必须是升变来的， 不然当骑士占据 a1（那必须是在 axb3 之前）之後城堡就绝对无法来到它现在的位置。 可是易看出 a5 和 c6 的兵本来分别就是 b7 和 c7 的兵（也许有交换）， 因此那个升变的黑至少是从 e 行走过来的，这至少需要斜移四次， 而 a5 那个兵至少也斜移了一次，於是黑方总共至少斜移五次， 但白方能够用来帮助斜移的子力也就只有五个（两个主教因为出不去、无法帮忙）， 因此就可以得到结论： a5 兵是本来的 b7 兵斜移一次之後变成、c6 兵是原本的 c7 兵， 而黑方的 e7 兵在连吃了四子之後来到 a 行， 通过白方打开的洞口升变成骑士 （注意，如果是升变成城堡，那至少还要再多用一次斜移，不合）， 而城堡则是在那更早之前就进入第 1 列了。 由上述结论，就可以知道，白棋除了两个主教都是死在原地之外， 其余的五个子力有四个分别就是死於 a3, b4, c5, d6， 而最後一个可能是死於 a6 或 a5，现在暂时无法确定。 这边我准备探讨棋子被吃掉的位置有个很重要的理由， 那就是，模仿者从一开始到最後所移动的向量， 其实就是整盘棋黑白双方所有移动的向量之和， 而这又等於每个棋子各自从开始到结束之间的向量之和， 换句话说判断每个棋子死掉或者最终的位置， 再跟模仿者比较，这会是非常有用的一个方法。 而为了要让这个方法有用，有一个很重要的关键：棋子的端点位置是可以交换的。 举例来说，现在我有两个棋子，一个整体来看是 a1-b4， 另一个是 b1-c6，因此两者移动的向量分别是 (1,3) 和 (1,5)，加起来是 (2,8)。 如果我把它们的终点交换，变成 a1-c6 以及 b1-b4 呢？ 那麽向量会是 (2,5) 和 (0,3)，加起来一样是 (2,8)。 换句话说，我不需要精确地知道每个棋子各自死在哪里， 我只要知道有哪些地方是曾经有棋子死掉，这样就够了。 以白棋来说，由刚才的结论，除了国王之外的所有棋子贡献的向量应该是： (1,1)+(0,2)+(0,3)+(-1,4)+(-3,5)+(-7,4 or 5) = (-10,19 or 20) 这边我是擅自假定一种起始位置和终点位置的配对组合， 根据可交换性我们知道这样随便假定的结果算出来也会是正确的。 而黑棋方面，就棋盘上除了城堡以外的其他棋子的最终位置来说，贡献的向量是 (-1,-2)+(0,-1)+(-4,-5)+(-4,-6) = (-9,-14) 於是到目前为止的总和是 (-19,5 or 6)。 根据模仿者的规则，模仿者一开始有可能在棋盘上的任何空白位置， 所以以模仿者在图中的最後位置来说， 它的横移量范围是 [-1,6]（我将以方刮号表示区间）、纵移量范围是 [-2,-5]， 因此，除了刚才讨论的棋子之外其他的棋子必须提供 [18,25] 的横移量和 [-11,-7] 的纵移量。 现在，稍早我们已经说过底下的城堡不能是升变来的， 所以它是 a8 或 h8 的城堡其中之一， 提供的向量分别是 (3,-7) 和 (-4,-7)。 不管是哪种情况，把这个城堡考虑进去之後， 剩下的其他棋子提供的纵移量都必须在 [-4,0] 之间。 这个时候还有一个棋子的负纵移没有被考虑到： 就是在 b3 被白兵吃掉的棋子。 由於这个棋子不可能是黑兵， 因此这个被吃掉的棋子竟然提供了 -5 的纵移， 於是剩下的其他棋子的总纵移就必须是 [1,5]。 这个时候，如果从题目的局面开始追溯可能的棋步， 由於模仿者被卡在第 1 列， 会发现那将是无止尽的黑城堡与白王的横向移动， 这将无法追溯到初始的布局状态── 除非，早先的某一步是白王吃掉了一个黑棋， 而且那个黑棋只能是骑士，否则一样解决不了问题。 也就是说，白王必定在稍早吃了一个黑骑士， 那是抵达题目的局面之前最後一个「有意义」的棋步。 而且那个黑骑士在被吃掉之前正好做了一个往下跳的动作（使得模仿者来到第 1 列）， 然後立刻就被白王横向吃掉。这件事会是发生在哪一列？ 显然顶多是第 6 列，但是也至少是第 5 列， 不然白王的正纵移无法补足该黑骑士的负纵移。 於是，白王最终的可能位置已经被缩小到两列之间了。 但是这麽一来，白王跟黑骑士的纵移抵销後是 1 或 3。 如果是 1，那黑棋就再也不能有任何负纵移， 如此一来剩下的四个黑兵都不曾动过，因而 f8 的主教没有动过。 在这个前提之下，我们来计算横移量。 不失一般性我先假设在 b3 被吃掉的棋子是 a8 的城堡， 於是两个黑城堡的横移量和是 -3。国王顶多提供 3， 两个黑骑士顶多提供 7，黑主教因为有一个不能动顶多提供 5， 最後黑皇后顶多提供 4。这加起来顶多是 16，跟范围还差了2，不可能。 换句话说，白王跟那个被它吃掉的黑骑士的纵移量之抵销应该是3， 以及黑骑士是在第 6 列被吃的；上面的计算也意味着， 为了把横移量补足，黑方除了在 b3 被吃掉的棋子之外， 所有的棋子都必须是在 h 行被吃，而且白王最终也必须是在 h 行， 以及模仿者必须是初始在 h 行。 因此第一个问题的答案揭晓了：白王的正确位置在 h6。 接下来，黑棋只剩下 -2 的负纵移可以用， 但是如果 f8 主教是在 h6 以下的格子被吃 （因为颜色的关系它显然并非是在 b3 被吃掉的棋子）， 那麽它就已经把这负纵移都用完了， 但这样一来其余的黑兵就不能动，它根本无法出来，矛盾， 因此 f8 主教只能是在 h8 被吃掉。 最後，如果 c8 主教不是那个在 b3 被吃掉的棋子， 那它为了在 h 行被吃，它至少用掉了 -2 的负纵移 （它自己要 -1、而 h7 小兵要让开也要 -1）， 可是刚才为了让 f8 主教在 h8 被吃，已经移动了 g7 的小兵、 用掉了 -1 的负纵移，根本没有多余的 -2 负纵移可以给它用， 因此它只能是在 b3 被吃掉的那个棋子。 於是解到这边答案终於出来了：两个黑主教分别是在 b3 和 h8 被吃的。 全部解决完毕。 注意到一直解到最後我都无法确定纵移量到底是怎麽分配的， 因为黑方还有一个 -1 纵移量可以给某个小兵使用， 我们无从确定黑方有没有把它用掉。但是这并不影响解题就是了。 --

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