※ 引述《xx5236294roy (xx5236 blog Rubik's)》之铭言： : 各位大大帮帮我解题吧!-123456789 : 请问各位大大 : 如何将123456789 : 这9个数字 : 乱换位子 : 但是最後得到的数字要: : 第1个数字可被1整除 : 第1,2个数字可被2整除 : 第1,2,3个数字可被3整除 : 第1,2,3,4个数字可被4整除 : 第1,2,3,4,5个数字可被5整除 : 第1,2,3,4,5,6个数字可被6整除 : 第1,2,3,4,5,6,7个数字可被7整除 : 第1,2,3,4,5,6,7,8个数字可被8整除 : 第1,2,3,4,5,6,7,8,9个数字可被9整除 希望这不是你的暑假作业…… 符合题目要求的数称之为「累进可除数」（progressively divisible number），是由一 位女士丽婀‧高洛蒂斯基（Lea Gorodisky）所提出并解决的。这种累进可除数最高只达 25位数（当然此时每位的数字是允许重复的）。 此外，若本题不限制每位数字皆不相同的话，答案则有2492个。 本题的答案只有一个。 25位的累进可除数也只有一个，那就是： 3608528850368400786036725 言归正传： 我自己是花了差不多一个半小时才解出来的。不过并不算太难。 要解这个问题首先我们必须要有判别因数的基本知识： 1：每一个数字都能被1整除（包括０） 2：尾数只要是偶数就能被2整除 3：各个数字加起来是3的倍数的话就能被3整除 4：最後二位数是4的倍数即可被4整除 5：尾数只要是0或5就能被5整除 6：能同时被2、被3整除就能被6整除 7：较为复杂，暂且不列 8：最後三位数是8的倍数即可被8整除 9：各个数字加起来是9的倍数的话就能被9整除 由上述可知，除了7的倍数外，其余都很好判别。不过还好也只有这个难关，因此还不算太 棘手。 【１】由题意可知，偶位数的数字一定是偶数；奇位数一定是奇数，且第５位一定是５（ 因为禁用０）。 ＊＊＊＊５＊＊＊＊ 奇偶奇偶奇偶奇偶奇 【２】因为前四位必须被４整除，且第三位是奇数，所以第四位不是２就是６。因为４的 倍数中，满足这个条件的只有尾数是２或６的时候： １２　　　　　４４（不合）　７６ １６　　　　　４８（不合）　８０（不合） ２０（不合）　５２　　　　　８４（不合） ２４（不合）　５６　　　　　８８（不合） ２８（不合）　６０（不合）　９２ ３２　　　　　６４（不合）　９６ ３６　　　　　６８（不合）　 ４０（不合）　７２ ＊＊＊＊５＊＊＊＊ 　偶　偶　偶　偶　（奇数不标，看起来比较清楚） 　　　２ 　　　６ ８的倍数也一定能被４整除，因此同理可证第八位不是２就是６。 ＊＊＊＊５＊＊＊＊ 　偶　偶　偶　偶 　　　２　　　２ 　　　６　　　６ 【３】由於前三位必须被３整除，前六位必须被３整除，所以中间三位也必须能被３整除 。再加上整个数能够被９整除，因此最後三位也能被３整除（因为９是３的倍数），所以我 们可以把全数拆成三个部分，每一个部分都是３的倍数。 第一段　第二段　第三段 ＊＊＊　＊５＊　＊＊＊ 　偶　　偶　偶　　偶 　　　　２　　　　２ 　　　　６　　　　６ 也就是说，每一段的三个数字加起来，都必须是３的倍数。 因此第二段我们可以轻易得知，既然第四位不是２就是６，那麽第六位不是８就是４。而 且只要决定其中一个，就能决定另一个数字。 第一段　第二段　第三段 ＊＊＊　＊５＊　＊＊＊ 　偶　　偶　偶　　偶 　　　　２→８　　２ 　　　　６→４　　６ 【４】既然２跟６占了其中两位，那麽第二位不是８就是４。 第一段　第二段　第三段 ＊＊＊　＊５＊　＊＊＊ 　偶　　偶　偶　　偶 　８　　２→８　　２ 　４　　６→４　　６ 【５】第一段中间如果是４，那麽左右两数加起来必为５、８、１１、１４（要符合３的 倍数）。但是因为两个奇数加起来必为偶数且１４的组合只有５与９而５又被用过了，所以 这两数和的可能性只剩下８，也就是１和７的组合。 第一段　第二段　第三段 ＊＊＊　＊５＊　＊＊＊ 　偶　　偶　偶　　偶 　８　　２→８　　２ １４７　６→４　　６ ７４１ 【６】从这里我们就可以大胆假设第二位是４，并用此数来测试最难的第七位： １４７２５８３（合） １４７２５８９（不合） ７４１２５８３（不合） ７４１２５８９（不合） 然而再进击至第八位时： １４７２５８３６（不合） １４７２５８３６９这个数字虽然能够被９整除，而且数字也非常漂亮（看九宫格数字盘 就知道）只可惜败在第八位。 不过，我们至少可以确定第二位是８，以及其他偶位上的数字。 第一段　第二段　第三段 ＊８＊　６５４　＊２＊ 　偶　　偶　偶　　偶 　８　　６→４　　２ 【７】由於８的倍数规则关系，因此第七位不是３就是７： ４１２（不合，因不被８整除） ４３２（合，因能够被８整除） ４７２（合，因能够被８整除） ４９２（不合，因不被８整除） 第一段　第二段　第三段 ＊８＊　６５４　＊２＊ 　　　　　　　　３ 　　　　　　　　７ 【８】再从第一段看起，８两旁的数字和必须是４、７、１０、１３、１６，去除掉奇数 剩下４、１０、１６，也就是１与３、１与９、３与７、７与９的组合。 至此，我们可以直接做测试，因为要计算的只有八个数字而已： ◆如果第七位是３： １８９６５４３（不合） ９８１６５４３（不合） ７８９６５４３（不合） ９８７６５４３（不合） ◆如果第七位是７： １８９６５４７（不合） ９８１６５４７（不合） １８３６５４７（不合） ３８１６５４７（合） 答案找到了！就是── ３８１６５４７２９ 而且也可以确定答案只有一个。^^ puzzlez 2005/06/26 --

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