作者susophist (窄宅)
看板logic
标题Re: [请益] 证明a=b,then b=a
时间Wed Dec 18 03:03:33 2013
※ 引述《MathTurtle (恩典)》之铭言：
: ※ 引述《chantaltw (nous)》之铭言：
: : 这是台大逻辑考古题
: : 题目是:使用推论规则证明 a=b /then b=a
: : 我不太有头绪要从哪证明起......
: : 念数学的人说，要证明这个，要先知道a=b和b=a有不同
: : 但根据定义，它们是相同的。所以如果他要证明，答案很可能是"根据定义"。
: : 但哲学系应该不太会这样子证明(?)
: : 所以来请教大家，你们的想法。^^
: 嗯, a=b 和 b=a 的确不同, 一个是 'a' 在前面, 一个是'b'在前面。
: 在一般的述词逻辑里面, 如果有 '=' 这个述词, 通常给的 axioms 只有下面两条:
: (1) for all x, x=x
: (2) for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy
: 也就是只有 reflexivity 和 Leibniz's Law, 并不包含 a=b和b=a要等价。
: 至於证明的话, 就是要从 (1)和 (2) 推出 a=b, therefore b=a
: 1. a=b Ass.
: 2. a=a (1) UI
: 3. if a=b then a=a iff b=a (2) UI
: 4. a=a iff b=a 1, 3 MP
: 5. if a=a then b=a 4 'iff'
: 6. b=a 2, 5. MP
自反性(reflexivity, "(x)Rxx")不是「等同性」，虽然，「等同性」是自反性的一种，
另一个自反性的例子是：__是__的子集合。
莱布尼兹等同律(LL)，包含有「等同性」的内容之外，多了，对事物「性质」的讨论，
莱布尼兹等同律是「二阶逻辑」，它对「性质」(述词, e.g. 'F')进行了量限：
LL: (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)]
事实上它包含两个部分：
(x)(y)(F) [x=y → (Fx≡Fy)]，「等同项之不可分辨律」，这是你用的公设(axiom)；
(x)(y)(F) [(Fx≡Fy) → x=y]，「不可分辨项之等同律」。注：这在哲学界有争议
您的证明中，「Fx」用「x=a」代入，怪怪的；这似乎，不是逻辑上合法的(代入)规则。
若用LL证明，其步骤如下：
1(1) a=b P. premise
2(2) ┐(b=a) A. assumption
(3) (x)(y)(F) [x=y ≡ (Fx≡Fy)] LL.
(4) a=b ≡ (Ga≡Gb) (3) x/a, y/b, F/G 「/」表示，用__代入
(5) b=a ≡ (Gb≡Ga) (3) x/b, y/a, F/G
1(6) Ga≡Gb (1), (4) MP 前断律
1(7) (Ga→Gb) & (Gb→Ga) (6) '≡' equivalent 等同律
1(8) (Gb→Ga) & (Ga→Gb) (7) '&' commutation 交换律
1(9) Gb≡Ga (8) '≡' equivalent
1(10) b=a (9), (5) MP
1,2(11) b=a & ┐(b=a) (10), (2) Conj 连言律
1(12) b=a (2)-(11) IP (矛盾)归谬法 Q.E.D.
注：
项式前面的号码('1'or'2'or'1,2')系「前提号码」，「空格」代表空集合、
表示「从逻辑定理而来」；述词逻辑的推导证明，用前提号码来标示：
结论「纯」由前提而来，以避免UG、UI、EG、EI之不合法的代入/量限化使用。
以上，谢谢。
参考资料：
http://www.scu.edu.tw/philos/97class/97-2%20peng/L-logic/12.pdf (彭孟尧讲义)
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.118.67
1F：→ zoneline:他没说「自反性就是等同性」，他说的是：第一条axiom在讲 12/19 20:26
2F：→ zoneline:等同关系是reflexive 12/19 20:26
我没说「他说」自反性就是等同性。
3F：→ zoneline:第二条其实是axiom schema，可能是为了简化才没讲吧 12/19 20:44
4F：→ zoneline:source: Hunter, Geoffrey. metalogic, pp.195-6. 12/19 20:45
你的「第二条」是指「不可分辨项之等同律」麽，不太明白为何其实是「axiom schema」
，可以说明一下吗？第二问，「为了简化」什麽？
5F：→ zoneline:顺带一提，你的证明不用归谬法也可以，删掉2,11,12 12/19 20:53
6F：→ zoneline:就是简单一点的direct proof 12/19 20:53
感谢提醒，可以比较短路径直接证明；不过「二阶逻辑」似乎是不完备的，用LL证「a=b,
therefore b=a」似乎是有问题的......
※ 编辑: susophist 来自: 180.176.200.225 (12/21 00:43)