※ 引述《sy20168 (Dennis)》之铭言： : Q1: 有2009 片玻璃片, 每片涂有红蓝绿三色之一. 进行下面的操作: : 每次取出两片不同色的玻璃片, 擦净其上涂色, 然後涂上第三种颜色. : 试证明: 无论开始时红蓝绿玻璃片各有多少片, 都可以经过有限次的操作, 而使所有玻璃片 : 都变成同一颜色. 令三种颜色为r b g 先观察如果给一个r 一个b可以合成两个g 在用两个b去合成四个r 所以总计b少了三个 g没有多没有少 r多了三个 也就是说经过这样的设计对於所有的个数为3的倍数都可以完全的换掉成为另一个颜色 又因为 2009 = 2 mod 3 对於任意个数的三种不同颜色必然存在方法使得有一种颜色是3的倍数 (容我罗说一下 对於分成三类如果三类都不是三的倍数 那麽除以三的余数可能为 (2,2,2),(2,2,1),(2,1,1),(1,1,1) 而其中唯一满足总和mod 3为2的仅有(2,2,1) 所以我们只要把其中一个2和1各取出一个合并就会得到新的余数组合为(1,1,0) 所以就出现了一个是三的倍数) 所以用上述的设计方式可以把三种颜色变成只有两种颜色 若是这剩下的两种颜色有一个颜色是三的倍数 那麽马上就可以得知有一个有限的方式可以把这两个颜色变成一种颜色 假若这两种颜色都是3的倍数多1 那麽我们可以用以下的设计 这两个颜色必定有一个比较多一个比较少(因为2009是奇数)假定这两个颜色个数各为m n 且m > n 所以我们用一对一的方式取就可以得到第三种颜色直到原先的颜色中某一个颜色取为止 因此最後会只剩下两种颜色 其中个数个别为 m-n 和 2*n 因为 m = 1 mod 3 和 n = 1 mod 3 => m - n = 0 mod 3 所以就会有一个颜色是三的倍数再用一开始的设计那麽就可以指得到一种颜色 因此对於任意个数总和是2009的三种颜色 存在一种有限的方法 将颜色变成同一种颜色 // --

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