作者MathTurtle (恩典)
看板logic
标题Re: [请益] 列出 {1,2,3} 的子集合
时间Sun Dec 27 00:51:31 2009
follow一下ksmrt0123的讲法,
有趣的地方在於, 无论是作法一或是作法二,
就算解释为操作行定义, 也不可能是完整的对子集合的定义。
关键在於, 一次加一个, 不加上union 或power set的操作法,
最多到finite set而已。
所以两个版本其实都是很怪的"定义"。
※ 引述《ksmrt0123 (ksmrt)》之铭言：
: ※ 引述《yauhh (哟)》之铭言：
: : 看到外国朋友在blog讨论子集合问题,说有本书这样子定义:
: : 1. 空集合是空集合的子集.
: : 2. A是B的子集,将一个元素x加入A,B集合分别得到A'和B',则A'也是B'的子集.
: : 3. A是B的子集,将一个元素加入B集合得到B',则A也是B'的子集.
: : 他说这样子定义不对劲,应该是另外这样:
: : 1. 空集合是任何集合的子集.
: : 2. A是B的子集,而元素x属於A,将x加入A集合得到A',则A'也是B的子集.
: ^
: 应该是B的笔误
: 我的想法是,
: 上面是subset的两个operatioinal definition,
: 也就是提出明确的作法, 来判断一个set X 是否为另一个set Y之subset.
: 举例来说, 要判断 {1,2}是否为{1,2,3,4}之subset,
: 作法一:
: 1. 空集合是空集合的子集
: 2. {1} 是 {1} 的子集
: 2. {1,2} 是 {1,2} 的子集
: 3. {1,2} 是 {1,2,3} 的子集
: 3. {1,2} 是 {1,2,3,4} 的子集
按照作法一, 我们无法用这操作行定义来check
是否 {1} 是 N (the set of natural numbers)的子集:
1. 空集合是空集合的子集
2. {1}是{1}的子集
3. {1}是{1,2}的子集
4. {1}是{1,2,3}的子集
......
[如果要避开这困难而加上 "空集合是任何集合的子集",
例子可以改成check 是否 N 是 N 的子集]
: 作法二:
: 1. 空集合 是 {1,2,3,4} 的子集
: 2. {1} 是 {1,2,3,4} 的子集
: 2. {1,2} 是 {1,2,3,4} 的子集
作法二优於作法一的地方在於, 它的确可以得到 "{1}是N的子集"这结论:
1. 空集合是N的子集
2. {1}是N的子集
但是作法二仍然无法得到 "N是N的子集"这结论:
1. 空集合是N的子集
2. {1}是N的子集
3. {1,2}是N的子集,
4. {1,2,3}是N的子集
.....
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◆ From: 81.107.35.152
1F：推 stimim:作法2没办法得到{1}是N的子集这个结论吧？因为他只能加入 12/27 01:00
2F：→ stimim:以存在於A中的元素，但A为空集合，没有办法把1加入A中 12/27 01:01
3F：推 luciferii:这里谈的定义2是 k 兄订正过认为是笔误的版本 12/27 01:02
4F：→ luciferii:不过N还是可数集合，所以理论上把所有N中元素加入左边 12/27 01:07
5F：→ luciferii:两种作法都可证出N为N的子集 12/27 01:08
6F：→ luciferii:用不可数集合(例如R)就比较有问题 12/27 01:10
7F：推 stimim:那就用 one-to-one 和 onto 来定义子集合如何？ 12/27 01:12
8F：→ MathTurtle:对 我本来想举R 作例子的 12/27 01:12
9F：→ MathTurtle:但我发现它连inductive都作不出来 所以N其实是不能的 12/27 01:13
10F：推 luciferii:O_O 作法1,2中都可以推论到所有N中元素都加入吧 12/27 01:20
11F：推 stimim:前题是induction在推广到"无穷大"仍需成立 12/27 01:23
12F：→ MathTurtle:对啊 它会需要inductive step宣称它可以推到N本身啊 12/27 01:25
13F：→ MathTurtle:而这通常也需要一个axiom才做的到的 12/27 01:25
14F：推 luciferii:我认为"因为N可数"就可以满足这个需要，而R不可数，所 12/27 01:32
15F：→ luciferii:以才无法证得 12/27 01:32
16F：→ MathTurtle:yap 如果informally容许recursion的话 要用R做例子才行 12/27 01:36
17F：→ ksmrt0123:感谢大师指导 也谢谢luciferii的说明 m(_ _)m 12/27 15:08
18F：→ ksmrt0123:另外我後来想到 该"定义"用来判断 X非Y的子集 需要穷举 12/27 15:12
19F：→ ksmrt0123:若Y非finite set会有问题 如 X={1.1} Y=N 12/27 15:14