※ 引述《brains (不认识)》之铭言： : 如题, 两底角相等应是等腰三角形的性质. : 但若真的要证明的话, 就逻辑上却很难办到. : "原命题: 已知一三角形两边相等, 试证其两底角相等" : 因为就尺规作图而言, 不论是 : 找中点, 向一边作垂线, 作中垂线, 或作角平分线... : 作这些辅助线的过程都会运用到原命题的性质(即等腰三角形两底角相等) : 所以就逻辑而言不就会变成"循环论证"了吗? 你这问题很有趣 在几何原本的公设系统下来看 这个定理在许多国中课本的证明根本是乱证 (循环论证) 例如你用角平分线好了 你怎麽知道一定可以构造那条角平分线? 这是根据几何原本命题9 但是几何原本命题9需要命题7 命题七的证明过程需要命题5 命题五就是这个定理自己! 其他的证明也是一样!都会循环论证 然後大部分国中课本也不说她是在什麽公设系统下 导出这个定理的 所以会有很多很奇怪的地方 举例来说 国中课本不谈平行公设 所以推出三角形内角和定理用了许多奇怪的解释 (什麽小孩子绕一圈 那你乾脆拿剪刀把脚剪下来拼凑说是180度算了..) 甚至还有胡乱证一通的 例如某版本(我记得是国编版喔)AAA相似形定理的证明 基本上是犯了循环论证 (康轩版更扯..拿量角器) 师大数学系洪万生教授有探讨过这个问题 一一指出国中课本错误的证明 (在数学史上也是很夯的问题) 写成一篇论文 http://140.122.100.145/ntnuj/j49/j491-15.pdf 另外一篇更完整的 原本网路上有 出成书後就被砍掉了 不过有GOOGLE 但会有几页不能看 http://ppt.cc/90pn 请仔细翻一下几何原本对此命题的证明 相当的复杂! 我自己第一次看的时候也花了一些时间 在历史上称之为《驴桥定理》 因为古代欧几里得几何原本是几何学的权威教材 很多人看到这个证明就傻住了 想说这麽直观的东西为什麽要搞这麽复杂 故有言：驴桥在此，愚者莫过! 不过 严格来说 几何原本也不够严谨 欧几里得用了很多自己没有察觉得直观性质 所以罗素说：他的严格性是被夸大的 在大数学家希尔伯特的名着《几何基础》 如果你有书的话 可以翻翻看 在他的公设系统下证明很简单 (但是他的公设蛮复杂的) 在第一章-6.合同公理的推论 定理11 三行就证明完了! 我附上英文版的几何原本 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html 注意下面有一个简单的注解： There are two conclusions for this proposition, first that the internal base angles ABC and ACB are equal, second that the external base angles FBC and GCB are equal. From the diagram it looks like it would be easy to prove the second conclusion from the first by simply subtracting the equal angles ABC and ACB the straight angles ABF and ACG, respectively. But Euclid doesn't accept straight angles, and even if he did, he hasn't proved that all straight angles are equal. Proposition I.13 would be enough, since it implies the sum of angles ABC and FBC equals two right angles, and the sum of angles ACB and GCB also equals two right angles, and so the two sums are equal effectively saying all straight angles are equal. Unfortunately, such an argument would be circular. I.13 depends on I.11, I.11 on I.8, I.8 on I.7, and I.7 on I.5. Thus, I.13 cannot be used in the proof of I.5. It may appear that I.7 only depends on the first conclusion of I.5, but a case of I.7 that Euclid does not discuss relies on the second conclusion of I.5. This proposition has been called the Pons Asinorum, or Asses' Bridge. Whether this name is due to its difficulty (which it isn't) or the resemblance of its figure to a bridge is not clear. Very few of the propositions in the Elements are known by names. 不过在教学上 用这个教学生 学生大概会抓狂.. 培养直观反而比较重要 在更下面有一行注解 是数学家Pappus给的 证明更加简单， 用SAS就可以办到(命题4 不会有循环论证的问题) 不过对初学者有些难理解就是了. 洪万生的那本书也有对这个证明评论 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.226.203 ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.226.203 (12/20 02:01) 原PO说的没有错啊 作垂线 作角平分线的证明方法 都是循环论证。 请你自己把洪万生教授的那篇文章读读 如果懒得看 有他学生写的精简演讲稿 http://ppt.cc/ArqX 一一指出 1.作顶角平分线 2.顶点与底边中点连线 3.顶点向底边作垂线 4.其底角之两外角相等 5.反身对称 证明上的问题 大概只有数学家Pappus和Euclid自己的证明没有问题 ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.226.203 (12/20 14:17) 若不改变几何原本命题顺序 大部分的证明(国中课本 或是大部分人的学到的) 也就是 1.作顶角平分线 2.顶点与底边中点连线 3.顶点向底边作垂线 4.其底角之两外角相等 都是错误的证明 那要怎麽证明呢 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html 这是欧几里得的方法 极为复杂 Pappus提供一个超简单的证明： AB=AC ∠A=∠A 根据SAS 三角形BAC全等CAB 所以角B等於角C SAS是几何原本命题4 所以这样用是没问题的 但在理解上比较困难 ※ 编辑: Hseuler 来自: 118.169.226.203 (12/20 15:37)