1+1=? 证明: 1+1=2 数学科洪士薰老师 1. 先了解 peano 公设：所谓自然数,就是满足下列条件, 1.一集合 N 中,有元素 n,及後继元素 n+,n+与 n 对应. 2.元素 e 必定属於 N 中. 3.元素 e 在 N 中不为任一元素的後继元素. 4.N 中的元素,a+=b+则 a=b.(元素唯一) 5.(归纳公设)S 为 N 的子集,e 属於 S,n 属於 S,n+也属於 S.那麽 S=N. N 就是我们说的自然数集合. 其中我们规定 e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此类推. 2. 再来定义加法, 加法(+)为一函数,这函数满足两个条件 1.(+)(n,e)=n+ 写成大家熟悉的式子 1.n(+)e=n+ 2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+ 满足上面条件的函数(+),我们称为加法+.(+):=+ 满足这两条件的函数是可以证明存在且唯一：证明如下 存在：e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然数 唯一：" În N ， +(n,e)=n+ +(n,e+)=(+(n,e))+ +(n,e+)+)=……… 故(+)存在且唯一 因为(+)(e,e)=e+ e(+)e=e+ 所以 1+1=2 得证. 上述证明翻成白话文如下： 自然数系依加法运算分别是：1，1+，(1+)+，……。而这些 1+，（1+）+，…就用符号 2，3，…表示，所以 1 + 1 指的是 1 後面那一个数字，也就是 1+，自然就是 2。 为什麽会有 Peano 公设，及定义加法，这起源於十九世纪末，二十世纪初，Hibert， Brouwer，因物理上狭义相对论，及量子论推翻了物理旧基础，而数学家们因此想证明， 数学是有坚固基础，是不变的真理。所以希望能从逻辑上建立一个完整、严密的基础， 於是第一个当然针对自然数系开 始，希望能像欧氏几何一样，从基本公设，经由逻辑就 可以得到完整的自然数系性质，所以归结出Peano 五个公设（其实後人把它进一步归结成 三个），而罗素与他的老师怀海德合写<<数学原理>> 三大卷，就是做了一部份工作。 Hilbert 拟了一连串计画要把数学的基础转化成逻辑，这样一来， 数学家就可以宣称 「数学是真理」。不幸的是，1929 年 Godel 23 岁时证明了一个定理： 不完全性定理： 如果有一个系统包含算术，而且这一系统的基本假设并不会互相矛盾，那麽这个系统中 一定存在一个命题，这一个命题的肯定或否定都无法证明。所以数学并不只是逻辑。 当然「1 + 1 = 2」的证明是否很有意义，可以从 Godel 的定理来看看。 不管如何，亚里斯多德说：「知识始於惊奇」，若有兴趣不妨去看看下面的书： 1. 希尔伯特的 23 个数学问题（天下文化）：第五章。 2. 哥德尔不完全性定理（九章）。 资料来源：http://www.tngs.tn.edu.tw/teaching/math/research/1%2B1=2.pdf -- ◆ From: 140.112.55.66 --

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