【书名】：社会菁英必备的数学素养 【作者】：奥利佛强森 【译者】：刘怀仁 【出版】：天下文化 #podcast: https://open.firstory.me/story/clu4q4xzh00p701undyfb57uq/platforms 这本书的起源来自於疫情期间，作者以数学家的角度， 在网路上发表文章，帮大众解读疫情的统计数字是什麽意思， 我看完这本书以後不禁感叹，如果我更早理解这些概念就好了。 统计数字怎麽看？ 为什麽要做统计？ 因为现实中，我们不可能拿到每个真实数字， 所以我们利用一个小样本的结果来推算总体的结果， 前提是这些小样本要有足够的随机性与代表性， 这也是为什麽街头的民调结果与真实结果相距甚远， 因为街头的访问虽然随机，但随机的路人并无法代表台湾的人口组成， 自然就无法以这个小样本的数据推算最後的结果。 既然是推算的结果，一定存在与真实数字的差距， 所以一个有效的统计报告通常会这麽说： 「信赖区间 95 %，误差范围 +- 3%」， 什麽是「信赖区间」与「误差范围」呢? 误差范围比较好理解，如果说统计结果是「某候选人支持度40%，误差范围 3%」， 就代表真实的数字可能介於43(40+3)% ~ 37(40-3)% ， 而信赖区间则是代表一个信心值， 因为统计样本有随机性，不同的抽样，有可能得到不同的统计结果， 而信赖区间代表的是如果重复这个统计好几回，有多少机率会包含真实结果， 如果信赖区间 95%，代表有 95%的机率包含真实结果。 信赖区间与误差范围会互相影响， 假设我们设定很大的误差范围，例如+- 10%， 我们当然会有极高的信赖区间包含真实结果， 但这样的统计数字就没有意义， 因为即使知道候选人的真实支持度有100%的机率落在30%-50%之间， 我们还是很难推测真实数字为何。 相反的，如果我们设定很小的误差范围，例如+-1%，但信赖区间只有50%， 代表有五成的机率39%-41%的范围没有包含真实数字， 这样的统计数字一样没有帮助， 所以以後看新闻，如果看到一些耸动的统计数字，先别着急， 先看看这些数字後面的信赖区间为何。 疫苗到底有没有用 我们用疫苗的例子来说明统计学的「虚无假设」。 新药可不可以上市，来自於新药的临床统计数字， 假设我们已知 70 岁以上男人每年有1%的机率会死亡， 现在疫苗公司将新药试用在 1000 名随机挑选的 70 岁以上男人上， 发现仅有 5 人死亡，我们是否该核准该药上市呢？ 如果光看数字，原本根据统计，应该有10人会死亡， 现在使用新药後降成一半，看来新药效果很显着， 但另一方面，我们知道 1%只是统计结果，不代表每年一定会死 10 人， 所以 5 人可能只是一个随机的结果。 要怎麽判断呢？统计学有个很重要的理论「虚无假设」， 意思是我们应预设新药是没有效的， 除非结果显着不同，该结果产生的机率低於随机产生的机率， 我们才足以推翻原本「新药无效」的假设， 在统计学上，我们将该机率称为 p 值， 当 p 值越小，就代表该结果越不可能发生， 如果真的发生了，就是我们假设错误，也就是我们可以推翻原本的虚无假设。 习惯上， 我们常把 p 值设为 5 %， 如果低於 5%，我们就足以认为该结果不是随机产生，而是有意义的数据。 回到新药的例子，每年有1%死亡机率，1000 人中有 5 人死亡的随机机率为6.6%， 还未低於 5%，因此代表我们的测试结果 5 人死亡很有可能只是一次幸运的随机结果， 不一定是新药带来的作用， 然而 5% 的阀值没有数学意义，只是约定俗成， 因此也不表示新药一定无效，只是还未达到统计的显着性。 普筛到底有没有用? 让我们试着用统计学来讨论疫情期间大家争论不休的一个题目：「要不要普筛？」 我们知道所有的检测方式都不是100%准确， 我们用「特异度」来表示「没有染病的人检测结果正确」的机率， 用「敏感度」来表示「有染病的人检测结果正确」的机率， PCR 是疫情期间最可靠的检测方式， 根据统计，PCR的检测敏感度为 80%，特异度是 99.5%， 假设我们对 1000 名随机受试者普筛，假设染病率为1%， 因此我们预期 1000 名受试者有 10 人确实染病， 因为敏感度为80%，所以有8人会被正确检测出阳性，而2人错误检测出阴性。 在未染病的 990 人中，正确检测出阴性有 99.5% 的机率， 人数为 985 人，而错误检测出阳性的机率则为 5 人， 所以我们会得到 13 个阳性结果，而真正染病的机率是 8/ 13 = 62， 这显示在随机普筛的结果下，即使是像 PCR 这麽可靠的检测方式， 也会得出不可信任的阳性结果，仅仅六成而已， 因此我们应该可以理解为什麽当初政府一直没有做大规模普筛， 因为错误的检测结果会加重医疗系统的负荷，使真正需要医疗的人无法获得帮助。 当时的政策是如果你有出现咳嗽发烧的症状，再去做筛检， 让我们同样用统计学来看看这麽做会带来什麽结果。 我们假设有症状的人，每 11 人有 1 人是真正染病的人，机率大约是9％， 因为只有出现症状的人才会去做检测，我们同样假设是1000名受试者， 但现在染病的机率从原本随机的1%变成有出现症状的9%， 如果再一次计算检测出阳性，且真的染病的机率会大大提升成93.5%， 这个方法得以上让真正需要医疗的人获得帮助。 检视两个方法最大的差别在於染病率，在大规模的随机试验中，染病率是可能不到1%， 而出现症状的人染病率会大幅提升， 当染病率越高，就能让检测出阳性，且真的染病的机率大大提升， 所以普筛不是不能做，但前提是我们已知该病的染病率非常高， 检测出阳性且正确的机率很高， 只要检出阳性，我们就强迫病人隔离，限制病人活动是防疫的有效方法， 但政府在防疫的同时，也要考虑这些被迫隔离的人，无法工作， 将会损失收入，对社会经济造成影响， 所以「要不要普筛」不只是一个统计问题，还是一个取舍问题。 要在全民健康与经济损失中做个取舍。 感想 我们一路从小学开始学数学，一路学到大学， 可能有不少人觉得出了学校，这些数学根本用不上呀。 我觉得那是因为我们学数学的时候，很少跟现实的例子结合， 例如我们都学过斜率，给我几个点，可以算出连结这些点的斜率， 但算这个要做什麽用呢？放到现实中，斜率可能代表感染速度， 根据斜率，我们就可以推算出未来的感染人数。 这本书不是在讲数学理论，而是想要培养一个普通人的对数字的感觉， 难怪书名叫作「数学素养」， 看来以後我们不只需要文学素养，音乐素养，也需要来点数学素养了。 --

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