: 顺便问一下第六题 : 就是一个圆绕X轴转的那题 : 有人会解吗？ : 我写出积分式後就不会积了！ 题目： 曲线 x^2 + (y-b)^2 = a^2 (圆)内部区域对X轴旋转，形成的Mr. Donut体体积为何？ (b > a > 0) 答： 使用薄圆柱壳积分法 取X轴为薄圆柱壳的中轴，圆点为圆柱正中心点，内半径为y，柱高为2x，厚度为dy 则薄圆柱壳体积 dV = 2πy * 2x * dy = 4πyx dy 而 x = ( a^2 - (y-b)^2 )^0.5 得 dV = 4πy * [( a^2 - (y-b)^2 )^0.5] * dy 接着，观察到y是从 b-a 增加到 b+a 故 b+a 旋转体体积 V = 4π∫ y * [( a^2 - (y-b)^2 )^0.5] * dy b-a 取 y = a cos(t) + b => dy = -a sin(t)dt ( a^2 - (y-b)^2 )^0.5 = a sin(t) 而要注意当 y 从 b-a 到 b+a 时，t 会从 π 到 0 π 故V = 4πa^2∫ (a cos(t) + b)*sin^2(t)dt 0 π π = 4πa^2 {a∫sin^2(t)cos(t)dt + b∫sin^(t)dt } 0 0 π π = 4πa^2 {(a/3) (sin^3(t))| + (b/2)∫(1 + cos(2t))dt } 0 0 π = 4πa^2 {(a/3)( 0 - 0 ) + (b/2)(t + (1/2)sin(2t))| } 0 = 2πb * (a^2) * {π + 0 - 0 - 0 } = 2(π^2)(a^2)b --

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