※ 引述《COCOAII (忍者=会忍耐的人)》之铭言： : 我大概知道原po的想法。 : 就是不包含0的自然数，除了包含偶数，还包含奇数。 : 你看，自然数有偶数的2,4,6,......，除此之外，还有奇数的1,3,5,......。 : 这不也很符合日常生活的想法？ : 我除了有你的所有东西之外，我还拥有额外的东西， : 这不就表示我的东西比你的还要多？ 原PO问题正是伽利略悖论 伽利略发现 虽然自然数包含正偶数 也就是说 偶数只是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....} 的一部分 但是偶数集合和自然数集合竟然是等势的(例如构造一函数f(x)=2x) 因为既然两者等势 那应该一样多 但是依照 欧几里得‧几何原本的第五公理(不是平行公设的第五公设)：整体大於部分 ( 当然 用直观想这是废话 不用招唤欧几里得 自然数比正偶数多出了正奇数那部分 ) 那麽 自然数应该比较多啊 基本会觉得矛盾是应该的 毕竟伽利略那麽聪明的数学家都觉得怪了 我高中的时候 问我们数学老师 一个类似的问题 两公分线上的点和一公分线上的点 哪个点的数量比较多呢? 他也觉得两公分线上的点应该要比一公分线上的点多才对。 1.两公分可以把一公分包住耶 2.两公分会比那一公分 多出一公分 但是f(x)=2x 这样看两者却要一样多 当然 这边的问题就出现在 什麽是一样多? === 当然 康托并不认为这是悖论 无穷集合并不能从整体和部分的关系来看两个集合的大小 举例来说 整数虽然包含自然数 但两者等势。 有理数包含整数，但两者等势。(拿座标钉子板加一根线就可以证明) 实数包含有理数，但两者却不等势。(对角线论证) 两者等势的条件是 " 若X和Y为有限集合，则其存在一两集合的双射函数若且唯若两个集合有相同的元素个数。 确实，在公理集合论里，这被当做「相同元素个数」的定义，且广义化至无限集合，并导 致了基数的概念，一用以分辨无限集合的不同大小。 " 有人就会把"等势"看作"一样多" 原PO的问题是 那些多出来(基数)的怎麽办? 基本上 康托会告诉你 虽然那些会多出来 但是我只要有办法制造一个函数让他们双射 两者就算等势(就算一样多了) 用另外一个例子来看 两公分线上的点和一公分线上的点 一不一样多? http://0rz.tw/MTYIm 右边的图 虽然对应的时候 有一些点会没有对应到 但是只要我有办法找到一个函数 也就是稍微旋转一下 正如左边的图 就有办法对应了 不会跑出空的地方 只要有办法对应到 就算一样多了 同样的 自然数和偶数 虽然自然数会多出那一些出来 也就是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 4 6 8 10 12..... 中间会有空 但是我只要找到一个函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.... 你看 这样就没空隙了 只要你有办法没有空隙 就算一样多了 或是说 两者等势 (当然 因为我这边考虑的都是 可数的 才有办法列出来) 当然，集合论受到很多的攻击，包括Cantor的老师克罗内克(Leopold Kronecker) 用各种手段 病态的言词来攻击Cantor长达十年 阻止它拿到比较高等的教职 甚至连天才数学家庞嘉莱(Poincaré)都嘲笑他的理论 以Erlangen 纲领着名於世的F.Klein 也反对集合论 数学家Hermann Weyl攻击他的基数观点是雾上之雾 数学家H.A.Schwarz原本是她的好朋友，因为集合论和他绝交 (正是柯西史瓦兹不等式的Schwarz) 最後他当然到精神病院去了 但是分析学之父Weierstrass接受Cantor的想法 最後和克罗内克绝交 领袖级的数学家David Hilbert也支持集合论 他甚至说 没有人能够把我们从Cantor为我们建造的乐园中赶出去。 可惜数学界接受集合论是它发疯死去以後的事情了 基本上现代的数学教科书都会使用集合论的符号 到达高峰 正是法国的布尔巴基学派(Bourbaki) 他们试图把整个数学建立在集合论上 例如他们出了十卷的数学原本(Éléments de mathématique) 从代数 拓扑 单实变函数 拓扑向量空间 积分 交换代数 李群 谱理论... (注意 不是数理逻辑 他们很鄙视数理逻辑 认为那不重要 逻辑只需最低限度 有些成员甚至在书中无情的嘲弄罗素等等逻辑主义者) 当然 他们有成员想要试图以范畴论来取代集合论的数学基础地位 不过基本上现代数学集合论还是王道 康托的基数和等势概念还引发出连续统假设 连续统假设和数学分析、拓朴学、测度论有些关联 最後数学家Paul Cohen用力迫法证明连续统假设不能在ZFC下被证明 加上哥德尔的结果 连续统假设不能在ZFC下被证否 所以连续统假设独立於ZFC Paul Cohen最後获得费尔兹数学奖 有趣的是 连续统假设还是很有争议的问题 有些数学家还热衷研究这个 除了数学家外 集合论、数理逻辑 这股风气很早就吹到了哲学界 基本上你在哲学系看到读分析哲学的学生念 集合论、模型论、可计算理论不是一件奇怪的事情。 --

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