虽然第一志愿落榜，但想留下一点什麽，给将来踏上这条路的人参考，也给将来的自 己一个检视自我的机会。 BTW.这标题是骗你的。 因为我从数学3级分到微积分满分中间经历了两年的重考。这篇文章不会提及重考的经历 （没什麽参考价值，如果想知道重考相关的可以再站内我），仅陈述准备转学考的过程与 方法。 以下将会分为几个主题：经历、前言、用书、念书方法、补习经验以及收尾的杂谈。互不 独立，内容会在各个主题都掺杂一些。 因为我废话很多，所以稍微分类一下：有些主题底下有分支，都会用数字及中括号标出。 标题前＊越多（最多五个），表示内容参考价值越高；没有＊表示可以整个跳过（比如经 历）。 【人权】（去年没考，今年才开始准备） 台联：微100物72国64英40 （如果你放弃英文就会像我一样落榜） 台师：微100 台综：略 之所以选择台联不是台大，除了觉得一个普通的人类台大微A不可能拿60分之外，还有考 量我文科太烂，以为可以靠专业科目加权就能上榜。但事实证明了，即使是台联也不能放 弃文科。 就像今年因为微积分太简单，上榜的几乎都是满分，最後比拼高下的还是落在文科上。 但话先说在前头，不要问我时间分配与考古题的用法QQ，因为一来我到六月底才读完微积 分（只读了一遍）。二来我考古题几乎完全没写，千万不要学我Q。 ．．． 【经历】 那就容我先赘述一下自己吧，原本是连为什麽为了数学系这粪系（？）重考两年+转学两 年的原因都想写，但一来大概没人想看，二来我发现无论怎麽写，都很难用文字完整传递 我的心境改变，也许这个当下，我仍然不知道自己为什麽选择这条路。 我想推荐本书，虽然跟转学考无关，但如果你想知道自己为什麽要追求梦想，我相信这本 书会给你很大的助力：《羊与钢之森》。它不会直接告诉你答案，而是引导你去找到属於 自己的解答。给不知道自己的梦想在哪里的你，也给正在追寻梦想的你。 我今年大二升大三。在大一的时候，我丈着自己曾经重考，对自己的实力相当自负。不论 是课业，或是人际关系。下场是微积分二被当掉，GPA2.x，系上能称得上是朋友的用手指 数都嫌太多。我想在此感谢我所有的大学同学及老师们。如果没有遇见你们，我一定会再 次因为自己的自负而失败。是你们让我开始反思，我想要的到底是什麽、我到底想成为什 麽样的人。虽然解答并不好找，但是如果没有进嘉大，我压根不会注意到这些事，谢谢你 们。 至於我想转学，以及想念数学系的原因，就借用《吹响吧！上低音号》剧中的一段话（想 了解你自己吗？那就去看吧）。 「私、特别になりたいの。 他の奴らと、同じになりたくない。 だから私は、トランペットをやってる。 特别になるために。」 ．．． ＊＊＊＊＊【前言】 在重考班的时候，我的数学老师说，学习数学最重要的，就是掌握住三个原则。第一个知 其所以，你要知其所以然。很多同学在高中时代学数学的时候，你知道这样做，但是为什 麽这样做？ 打比方说，现在给你一个不定积分的题目，积分技巧有那麽多，你怎麽知道选哪一个来做 ？选择用分部积分法的话，要选谁当u谁当dv？判断级数敛散性要选哪一种检验法？如果 用p级数做为比较级数的话，p值要选多少？ 我相信绝对有同学这些通通都是用背的，那如果考试的题目是你没见过的，是不是当场就 阵亡了？如果说一个数学老师能够分析到说是，你怎麽知道、为什麽知道都一清二楚的话 ，那不管题目怎麽样变化，你都可以把它抓住。 再来第二件重要的事，就是要掌握东西的「型态」。型态包含的事情有好多好多，像一条 公式的本身就是一个型态了。 打比方说，一个不定积分的题目，凡是出现a^-x^2、x^2+a^2以及x^2-a^2这些型态的时候 ，你就要想得到三角代换法。 又比方说e^x的泰勒展开式：1+x+x^2/2!+...，除了用这条公式求极限、无穷级数和之外 ，当你看到，一个无穷级数，它一般项的分子是「x的升幂」，而且分母「出现阶乘型态 」的时候，你就要想到这可能跟e^x有关（历届里面最极端的例子，可以参考105台联） 试想今天同学丢个题目过来，你解完了之後，同学问「你怎麽想到的？」，欸这问题还真 不好回答对吧？标准的答案就是「我看出来的」，怎麽看出来的？型态牵引你看出来的。 数学程度不错的同学，对型态的掌握能力通常都很不错，可以试着观察看看身边的强者是 如何思考问题的。 ．．． ＊＊＊【用书】（以及一些读书经验） 一．我曾经看到版上有文章提出一种论点：「考试是考试，念理论是念理论， 两者的用书当然不一样，要准备转学就是看转考的书就对了，完全不用看原文书」。 坦白讲，这观念真是对极了（对"数学"以外的科目，尤其是物理），但是微积分你想这样 读？很抱歉，不可能的。 数学的学习，知其所以，一定要知其所以然，一个题目，你知道这样做，但是为什麽这样做？要怎麽想到这样做？如果不明就理的背题型，那考试出了一 个陌生的题目，你就只能僵在那动弹不得了。 这也是我认为必须看原文书的理由之一。原文书不论是定义、定理或是例题，都会用文字 尽可能描述其中的原由。就算是原文书，某些地方还是写的不够详尽，需要自己慢慢推敲 的地方比比皆是，你怎麽能期待用一本「考试讲义」就读通所有的观念呢？（更何况是观 念有问题的书：） 下面这个例子，应该可以很好的说明知其所以然的重要性，有兴趣的可以试试看。这是今 年台湾师范大学数学系微积分的最後一题（证明题）。 考试的当下写到倒数第二题的时候，坦白说真的觉得被羞辱了。因为实在太简单，根本不 用动脑。但是我看到最後一个题目的时候，我就知道我错了。这一题出的真是拍案叫绝， 我认为是除了台大之外今年转学考微积分最有水准的一题。那你说是因为它很难吗？不， 它非常的简单，但是题目全部卡在基本观念上出题，你只要有一点观念稍微模糊，就不可 能拿满分，题目如下： https://imgur.com/4NzVmlj 二．今年的书单（跟转学考直接相关的）。 （１）关於读书方法： ＊＊＊＊＊《大脑喜欢这样学》 这是我认为准备转考前，非读不可的书，以下只要提到读书方法的，全部都是抄袭自这本 书，稍後再提及里面的核心观念。 （２）微积分： ＊＊＊《Thomas Calculus》 我今年微积分有补习，但是补习班给老师的堂数实在是太少了，向量微积分的深度不如我 的预期。在五月中旬的时候我就决定把原文书向量微积分的部分全部看完，直到六月中旬 才完整的念完微积分第一遍。最後的观念全部是靠这本建立起来的，写的清楚明了，可以 搭配台大微积分期考题一起服用，会有奇效。 ＊＊＊＊＊（英文的学习方法） 这是题外话。常有人问我看不懂原文书怎麽办？现在我的英文程度<1200单，但是一样看 的懂原文书。我认为学英文最重要的，既不是文法也不是单字，而是「语感」。因为单字 不会可以查，文法不会也可以查。 我很喜欢nightblue3、moe等人，每天一定会花时间看他们的youtube影片。我用这些影片 培养语感的方式是这样的：先开中文字幕看一遍，尽量去听他们说了些什麽英文，第一遍 没办法全部听懂没关系，重点在於「听见」他们说了些什麽。 然後把中文字幕关掉，开英文字幕看第二遍。这时候的重点是，「听懂」他们说的话。英 文程度不好的，这一步可能会很痛苦，如果中间发现自己有某个英文单字或片语忘记中文 意思的话，千万不要开中文字幕，绝对不要开，试着利用前後文还有看第一遍时的回忆， 努力的「回想」这个字是什麽意思，给自己的脑袋一点时间（我给一个字的时间是三到五 分钟），真的想不起来的话再去查中文解释。 最後一步，把所有的字幕关掉。这一步等於是融合前两步，除了要利用耳朵去回想他们说 了些什麽字，还要在脑中回想这个字是什麽意思。 基本上一部影片，我只要完全听懂八成就会把它结束了。这些过程适用於任何的内容，美 剧、电影、新闻等等，都可以利用这个方法训练自己的语感。 ＊＊＊《微积分圣经》 观念清楚的一本书，如果读通，有些极限跟级数敛散性的问题可以秒解。前面基础数学的 部分，程度不好的可以作为预备知识，程度佳者可以当作高中数学的复习。但我不建议单 啃这本书，老实说如果没有叶铭老师带着我念，我不认为自己一个人可以念通这本书，如 果没补习的话，搭配原文书是不错的选择。 ＊＊＊《大学微积分》赵文敏着 约民国76年出版，全繁中的微积分书，我认为台湾没有比这本更好的中文微积分书了。好 的地方在於，作者在各章节开始前会非常清楚的说明章节的目标，还有各章节之间的关系 。每一个微积分的定理，都会附上定理的直观意义（以及完整的证明），而且在定理与定 理之间的连结关系上着墨甚深，对於建立完整的观念帮助非常大。 但缺点是其中的定义太过数学，如果不是数学系刚开始看可能会很吃力。而且例题过少及 艰涩，习题也对数学系以外的同学非常不友善，对准备转学考而言相当不利。如果想找来 看的要能够自己分辨哪些需要观念精读而哪些舍弃不看，并且辅以其他习题较佳。 ＊《高中数学 自然组第4册》东华书局 约民国68年出版，这本书对於我极座标观念的养成有极大的帮助，特别是极座标中 r<0 的定义，以及作图的手段。找不到这本书也无所谓，但是极座标的定义、作图等等务必要 熟练到变成反射动作。 （比如说， r = a+bcos(theta) 表示的图形是蚶线，什麽时候会「凹进去」？什麽时候 会「凸出来」？什麽时候里面会有小圈圈？又比方说， r = 1-cos(theta) 图形是心脏线 ，因为是减号所以它的「屁股」在左边等等） （以下论点非常主观，不喜勿入） －＊＊＊＊＊《微积分学习要诀》 极度不推荐，就给他负五颗星好了。 介绍极座标时，不免要讨论两极座标图形的交点座标。我忘记是哪两个图形了，书中解交 点的方式居然是画图代特别角。起初我以为是篇幅的关系所以在书上省略解法，结果本书 作者今年在社团放了一个影片，内容是他本人亲自解图形的交点，居然就是用画图的。 你说这有什麽问题？画图就画图啊～～～ 那我问你，如果交点的幅角不是特别角怎麽办？？那你是不是代一辈子都代不出来？？ 又比方说，书中有一题成大的历届，判断级数敛散性的问题。书中的解答居然用结合律来 判断（书中称为将两项合并为一项分析），各位千万要注意，一个无穷级数在你不知道收 敛或发散之前，是绝对不可以用结合律的！不是不可以，是绝对不可以！！你不信的话， 试试对这个「发散」的无穷级数用结合律看会发生什麽事：sum (-1)^n。 再比方说，向量微积分这个单元里，向量函数的面积分一共有三种型式，三种分别对应不 同型式的曲面（函数、参数式以及隐函数），这三种型式的面积分公式都不同，而且都可 以互相推导。 Thomas Calculus把这整个脉络写的一清二楚，什麽时候用哪种型都有详细的分析。但要 诀仅有一种（参数式），并且完全没分析曲面型式跟面积分的关系，对面积分的观念建立 极为不利。 以上仅是列举几个非常离谱的例子。同位作者的历届详解中，106台师大数学系微积分第 五题，判断级数敛散性的问题，解答用了Ratio test之後，极限算都没算就说等於无穷大 ，所以级数发散。但事实上，那个极限值<1，所以由Ratio test可得，原级数收敛。 某题台联大的历届，求α之值使得 (1-cosx)/x^α这个函数在0到无穷大的瑕积分为收敛 。解答我真的看不懂在写些什麽，最後随便挑个数字就当作解答。按个计算机就能知道错 了。 奉劝微积分想要考满分的，在初学建立观念时绝对不要看这本书。当然如果是作为题库本 练习那无可厚非。但里面的解答，我认为参考价值低落（趋近於零）。 但是，如果你看完上面的想法是「我到底在写三小？？？」，完全不能认同我对这本书的 评价的话，那我建议你，马上去弄一本来看。 念书这种事本来就是非常主观的，也许你看了之後觉得他写的极好，那恭喜你，你找到了 一本适合自己的书。看书绝对不是听别人觉得好的就盲目的去啃，别人认为好的，你不一 定觉得好；别人觉得写得烂的，你未必跟他有同样的感受。你必须经过自己的消化，才能 确定那本书是不是能够带给你成长。 （３）物理： 《李怡严物理》： 极度不推荐，看了你就知道为什麽：） ＊＊＊＊＊《大学物理学精要》 ＊＊＊＊＊《费曼物理学讲义 电磁学》： 精要不用解释。 费曼这本书，是刘宗儒老师今年上课推荐的。连结向量微积分与电磁学的书，写的最直 观好懂的绝对非它莫属。直到看完这本书後，我之後才算真的了解向量微积分的物理意义 究竟在讲些什麽。 如果觉得向量微积分好像虚无缥缈，抓不到头绪的话，非常值得一读。不用整本读完也无 所谓，我觉得光是第一章前半部讲述向量微积分的部分（作为电磁学的预备知识）就有极 大的帮助。 ．．． ＊＊＊＊＊【念书方法】 一．「读书」 拿到一本书，我一定先看作者序（推荐序通常会跳过），因为大部分的作者序，会写明这 本书想要达成的目标，也可以看做是整本书内容的浓缩。我会把序作为认真细读前的暖身 ，就像运动前的暖身操，不仅可以预防受伤，也可以让自己更快进入状况。（精要的序我 看了好几次，每多看一次就越感受到作者的用心良苦。读《精要》作者序不落泪者落榜！ ） 至於内容，我自己是这样读的：先弄一本自己翻了觉得顺眼的原文书，然後就从头开始啃 他。但是中途如果有看不懂的部分，不要怀疑，我会直接跳过，如果看到後面发现有需要 前面知识的话再往前翻。 因为看书的时候「卡住」是浪费时间而且没有效率的。这个时代的人，空档非常的零碎化 ，不论是否准备是准备考试的书，我都是这麽读，细节可以参考《如何阅读一本书》。 但每个作者可能因为学派等等的原因，或多或少都会有些主题写的「很奇怪」，当然这个 「很奇怪」的感觉是很主观的，这种时候我就会去借其他作者的书，读那个我觉得奇怪的 章节。如果还是不懂就再找下一个作者，直到差不多懂了之後就开始做习题。虽然各个作 者的习题大同小异，但还是建议多看，不一定要全消，觉得自己懂了就可以。 至於要测试自己懂不懂的话，可以试着去回答其他人的问题，如果回答的过程中发现自己 讲的怪怪的，那多半是有地方没弄清楚，就再回头找出自己的盲点（在这里跟被我骚扰过 的同学们道歉Q）。 二．「读」书 在英文的学习方法中提到「回想」的概念。事实上在脑中「回想」，是不论学习任何的东 西，最重要的过程。 很多同学惯用的念书方式是「反覆阅读」，这已经被研究证实，是「完全没用」的方法（ 除非你一边反覆阅读一边回想），因为回想的过程就等於是再次学习，在脑中回想的画面 越清晰，语句越通顺，就表示你学的越清楚。 我相信你一定有这种经验，有个东西你觉得自己学得超好的。但是别人问你相关的问题， 你正要回答时，却感觉脑袋好像塞住了？ 这种感觉不是别的，正是你没学清楚的证明。试着把「别人问你」改成「考试」，是不是 让你回想起考试时脑袋塞住完全无从下笔的回忆了？ 实际步骤是这样的：每当你学到一个新的定义或定理，先专注的吸收书上的内容，「专注 」之後，让子弹飞一会儿，去做些让自己放松的事（去运动、骑车、洗个澡、换个地方念 书、听首自己喜欢的歌或是演奏一首自己熟悉的曲子，重点是这些放松的是必须和你方才 专注念的东西不一样）。经历专注到放松之後，先努力的回想专注时所读的内容，回想完 毕後再进行一次专注到放松再回想的步骤。 最初练习时一定会很痛苦，但是如果不管别人怎麽问你，你都可以用自己的语言把东西 解释得一清二楚，那你就是真正理解了「然」。 当别人问你问题，当下脑袋塞住了。但是过一段时间，可能是同学问完问题之後，你灵光 一闪，突然知道该怎麽解释了！ 我相信这种经历应该不会比脑袋塞住的次数要少，为什麽这种状况会发生以及回想学习法 为什麽有效，《大脑喜欢这样学》都有详细的解释。简单来说，要将一个东西学的透彻， 需要经过「专注」以及「发散」（就是放空脑袋）两个过程不断交错。人类的大脑很神奇 ，当你透过专注把资讯输入脑子里之後，再把专注力从这个资讯抽离，大脑会继续帮你消 化这些内容，当然你要反覆复习才不会让新观念消失，如此就可以轻松的把新观念深植在 脑子里了。善用这个大脑的特性，我相信习惯了之後读书会变成既简单又有趣的事。 三．我怎麽作习题？ 以下完全抄自《大脑喜欢这样学》，非常的违反直觉，但我微积分能拿满分，就是这样练 习的： （１）先拿着笔，从头到尾做完「一道」重要题目，不可以作弊，不可以省略步骤，要确 认每一步都合理。 （２）接着，再做一遍，但要留意其中的解题细节（为什麽想到这样做？怎麽想到这样做 ？） （３）去做别的事，也可以读同一科，但要做与前两步骤不同的事，你必须让发散模式有 时间把这个问题放进你的内心。 （４）睡觉。但记得睡前再做一次这个题目，如果卡住，先别急着看解答，尝试让你的「 直觉」带领你。 （５）隔天起床再做一次。这次应该很快就能做出来，甚至你会不知道为什麽昨天的自己 觉得它很难。到了这个阶段，你可以省略一些步骤，把焦点放在你觉得这个题目最难想到 或最难处理的地方，这就是「刻意练习」。 （６）做一道新的、类似的题目，并且重复步骤１～５，直到你非常有把握为止。你会发 现，单单是几道题目，就可以非常有感的加深你对内容的理解。 （７）进行「动态重复」，一边走、骑车、等红绿灯时、等待老师进教室的空档等等，在 脑中回想题目跟解题步骤。 以上七个步骤就是我读完一个主题之後如何作习题的方式，详见《大脑喜欢这样学》。 ．．． 【补习经验】 １．微积分： 我最先开始是报台北班的王博，听两堂就不听了，赶快逃去台中补叶铭的课。也许是转学 考跟研究所处理的人不一样，之前看过有很多人抱怨伟文的行政差，但我跟报名人员说我 想逃去台中的时候，她很快的就帮我处理好了，教材也没有拖。看起来像业配，不过我真 心觉得不错，想知道是哪个人帮我报名的可以再站内我（伟文也可以站内我喔，我也想领 ５００）。 逃去台中之後，果然发现自己选对了。求极限的公式、瑕积分、级数歛散性等等，上课时 都分析的一清二楚。这几个主题实在太出色，今年级数的问题全部都是秒杀，我相信这块 很难找到更强的老师了。 ２．物理： 我是补刘宗儒的物理课，我认为刘宗儒最强的地方在於，除了物理观念分析的一清二楚之 外，还会用很多日常生活中的例子来比喻一个抽象的物理概念，这不只帮助我理解，也加 深我的记忆。 比如说将电感比喻成一个保守派的人，电容比喻成一个激进派的人。当电容与电感同时装 再一个交流电路里，如果是电容性电路，那电流就会领先电压，因为电容是激进派；如果 是电感性电路，因为电感是保守势力，所以要维持没有电流的状态，此时电流就会落後电 压。 这类的比喻充满了整个课程，尤其是电磁学以及近代物理，让我考完到现在都还记得，希 望没有办法上课的人，也能透过这种譬喻的方式，把物理学的更好。 【杂谈】 其实该讲的都讲完了，也没什麽好谈的，但我今年做了一件事是没什麽人提到的，就是多 追踪教授的脸书。有很多对教育有热诚的教授，都会在自己的脸书上发表一些想法，这些 想法除了帮助你增广见闻之外，有时候对考试也有奇效。 比如我很早就知道 e^it*f(x)（i是虚数单位）的意义是把 f(x)在复数平面上做「旋转」 ，但是我一直没搞懂其中的原因是什麽。直到我看到成大资工系苏文钰教授，在天下杂志 的文章：「【苏文钰专栏】『用不到、不用学』？三角函数可以不用上？」。 里面有一句话这麽说的：「更麻烦的是 Complex Exponential（欧拉公式）要怎麽具象解 释呢？ 三角函数与Complex Exponential拿掉，那麽傅立叶转换以及接下来的余弦转换也 不必教了。」 很神奇吧？就这麽一句看似无关的话，就点醒了我为什麽乘上e^it的几何意义是平面上的 旋转。 ．．． 如果你看到这里，我想问你：为什麽你想要转学？你跟未来有约定吗？抑或你想找回初心？ 给你自己一个跟梦想对话的机会，梦想不会背叛你，因为梦想一直再寻找你。 （这是我准备转学考这一年听最多的歌） https://www.youtube.com/watch?v=sdAYxmGDToU 特别感谢:嘉大应数的彭老师、林老师 叶铭老师、刘宗儒老师 台中伟文的徐同学、陈同学，叶学长、蔡学长 每次跟你们讨论问题时总是能够发现自己的盲点，谢谢你们。 大微网以及刘明昌微积分社团中，曾经发问跟回答问题的每一个人， 没有你们愿意丢问题出来讨论，我是不可能拿满分的。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.236.69.63 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Transfer/M.1566809909.A.CBB.html ※ 编辑: baxiche (36.236.69.63 台湾), 08/26/2019 17:33:21 ※ 编辑: baxiche (180.204.193.101 台湾), 02/29/2020 22:15:40