不好意思，又回了一篇。 不过用意并不是要追打，很明显没有那个必要... 但觉得那个极限问题有一些东西可以分享给板友。 f(3x)－f(sin(x)) 对於题目 f'(0)＝a，求 lim ──────── x→0 x 首先分析这题使用罗必达： lim f(3x)-f(sinx) 0 x->0 -------------- (---) x 0 =lim f'(3x)*(3x)' - f'(sinx)*(sinx)' x->0 --------------------------------- (罗毕达定理) (x)' 为什麽会说罗必达的条件是要 f 在 x＝0 的「附近」可微呢？ 这原因其实是非常简单的： 因为你上下各自微分以後 3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x)) 你就改求 lim ────────────── 这个极限， x→0 1 我们学习极限的时候，不是一再强调吗？ 取极限是无关乎 x＝0 本身的。 所谓的当 x→0 时, y→L， 是 x 由 0 的附近去趋近到 0 ，然後观察 y 的趋势。 所以你现在要求的这个极限， 是 x 由 0 的附近去趋近到 0 ，然後观察 3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x)) 的趋势。 话都已经这麽说了，那岂不是 f 须在 x＝0 的附近可微？ 不然，f'在 x＝0 的附近不存在，你要怎麽做到 x→0 ？ ＿ 同场加映: lim √x 没有所谓的左极限等於右极限 x→0 ＿ 因为√x 的定义域并不含 x＜0 的部份 那你要怎麽左极限？ 之所以说左极限等於右极限 其实 x 是要趋近到定义域的内点 这种刚好趋近到边界的并不适用 再来，即使无视前提，做下去了， 其实最後应该是做到 ＝ lim 3f'(3x)－cos(x)f'(sin(x)) x→0 而不会做到 ＝ 3f'(0)－f'(0) 理由已述，那是对极限与连续的概念不清楚的人， 才会在求极限时乱代。请记住： 极限值 不等於 函数值 ↖ 概念上的不等於 不是说恒不相等 为什麽我们初学极限时，代得乱七八糟？ 那是因为教材先给你连续函数暖暖身。 我一开始看到此题时，也感到疑惑， 既然用罗必达错得离谱，那麽何以错得离谱的方法， 所得「答案」竟会一样？ 你所转述的，王老师的结论，实在让我大感诧异， 他怎麽会觉得其实 f 是在 x＝0 附近可微、f'在 x＝0 处连续呢？？？ 这已经不是数学能力问题了，我想这大概是国文能力问题.... 题外话...去年在批改国小数学竞赛的考卷时， 身旁几个强大的教授就在聊天说： 其实国文好的人，数学也不会差到哪里去； 但是数学好的人，国文不一定会好，像这个(指作答者)就很烂。 我听了以後实在大感认同.... 题目只给f'(0)＝a 的情况之下，就要你求那个极限， 那意思当然是说，只要 f 在 x＝0 处可微， 无论 f 在 x＝0 的附近是可不可微、f'在 x＝0 连不连续、 乃至其它有的没的碗糕条件..... 不管，无论如何这个极限值都一样！ 2 2 2 作个比喻的话就像是所有直角三角形都有 a ＋b ＝c 无论你怎麽调整锐角，这个结论不变。 至於王老师的结论，作个比喻的话， 就像是它用了某种只适於等腰直角三角形的办法， 2 2 2 得到 a ＋ b ＝ c 然後惊觉结论一样， 然後他得到了这个直角三角形其实是等腰直角三角形的结论.... 国文能力是已经差到看不懂题目说的是「直角三角形」吗？ 所以如果硬要用罗必达的话， 也许要这样搞： 教授！ 我假设你并没有出题错误！ 的确只要f'(0)＝a，无论其它条件如何设定，极限值皆不变！ 那麽我要开始作特殊化了！ 我假定 f 在 x＝0 附近可微、f' 在 x＝0 处连续， (然後，以下开始罗必达....) 这样大概就可以了，不过这也是建立在没有出题错误的前提之下， 不然，你怎麽知道极限值不会随着那些条件改变呢？ 以上全都看不懂也都没有关系，例子是最有力的： 2 x , x ∈ R\Q 设 f(x)＝{ 0 , x ∈ Q f(x) x , x ∈ R\Q ──＝{ x 0 , x ∈ Q\{0} f(x)－f(0) 则 f'(0)＝ lim ───── ＝ 0 题目的前提满足 x→0 x 但是因为 f 明显在 x ≠ 0 处根本不连续，那也就不可微。 不满足 f 在 x＝0 附近可微 极限开始了： f(3x)－f(sin(x)) lim ──────── x→0 x 2 2 9x －sin(x) , x ∈ R\Q f(3x)－f(sin(x)) ＝｛ 0 , x ∈ Q 2 sin(x) f(3x)－f(sin(x)) 9x－─── , x ∈ R\Q ──────── ＝ { x x 0 , x ∈ Q\{0} 所以 f(3x)－f(sin(x)) lim ──────── ＝ 0 x→0 x 答案一样，且不合罗必达使用条件。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.120.149.223 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Transfer/M.1432655730.A.887.html ※ 编辑: yuyumagic424 (59.120.149.223), 05/26/2015 23:56:49 ※ 编辑: yuyumagic424 (1.162.64.252), 05/27/2015 01:29:42