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标题Re: [其他] 台大102学年度转学考 微积分B参考答案
时间Fri Aug 2 23:13:44 2013
: : 16. (a) 0
: : (b) 2π
: (a) 根据Green's Theorem:
: x^2 + y^2 - 2x^2 -x^2 - y^2 + 2y^2
: 原式 = ∫∫ [------------------ - -------------------]dxdy = 0
: R (x^2 + y^2)^2 (x^2 + y^2)^2
: R is the region enclosed by C
: (b)
: 有两种解法:
: -sin(θ) cos(θ)
: 原式 + lim ∫ [----------*ε*-sin(θ)dθ + ---------*ε*cos(θ)]dθ = 0
: ε->0 C' ε ε
: C': x = εcos(θ), y = εsin(θ)
: 且C'是clockwise
: 所以说:
: 原式 + ∫ dθ = 原式 - 2π = 0
: C'
: 原式 = 2π
: 另解:
: -sin(θ) cos(θ)
: 原式 = ∫ [----------*a*-sin(θ)dθ + ---------*a*cos(θ)]dθ = ∫ dθ = 2π
: C a a C
(b) 还有第三种解法，当被积函数超复杂时用 (这题还没有必要这样用)
在 C上 x^2 + y^2 = a^2
-y x
∫ ----- dx + ----- dy
C a^2 a^2
= (1/a^2) ( ∫ -y dx + x dy )
C
By Green Thm
= (1/a^2) ∫∫ (1+1) dxdy
C所围区域
= (1/a^2) 2 πa^2
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