这几天把要考的学校题目都稍稍写过了， 顺便藉由这篇文章做一些考前的统整， 　或许也可以帮助到一些版友。 　　※章节分类 　　 (1) 基础知识 (2) 极限 (3) 连续 (4) 导函数 (5) 微分应用 (6) 不定积分 (7) 积分应用 (8) 多变函数 (9) 重积分 (10) 数列与级数 (11) 向量微积分 (12) 微分方程 A.基础知识 这部分的内容就简述一些在微积分中频繁或可能用到的高中数学知识。 (a) 函数概念：奇偶函数、函数有理化、配方法、根与系数 牛顿一次因式检验、公式解、反函数、合成函数 (b) 三角函数：平方关系、商式关系、和差角公式、倍半角公式 和差化积、积化和差、余弦定理、正弦定理 (c) 数列级数：无穷等比、等差数列、级数求和公式 (d) 其他：Euler Formula（三角函数、双曲函数） B.极限篇 这部份则用题型来做分类： (a) 利用极限的柯西定义式去证明一极限式（少考） (b) 极限求值 - 三角极限 （极限等价式、L'Hospital或采级数解） 极限求值 - 无穷极限 （若出现负无穷，先做代换，避免出错， 由分式上下领导系数求解） 　极限求值 - 夹挤定理 （此型形式明显，但小心可能与黎曼和搞混） 　极限求值 - 高斯函数 （熟记高斯函数概念，小心分段点， 善用讨论左右及代换法） (c) 渐近线 (1)水平渐近: 即解无穷极限 (2)铅直渐近: 分式型时常令分母为0 ( 因其定义需 -> 无穷 ) (3)斜渐进线: 先求斜率再找截距 注: 以上仅简述分式型, 小心指对数之渐近. 有时将函式化做代分式可快速判得 C.连续篇 这边主要是紧扣连续的概念：(1)极限值存在 (2)函数值存在 (3)极限值与函数值相等 其余则为定理记忆和应用， 比如固定点 Fixed Point 之证明（中原期中、清大研究所） D.导函数篇 (a) 导函数定义 (b) Chain Rule　（注意对数微分法、指数微分法） (c) 反函数的微分、参数式表示下的微分　（ 即Chain Rule应用 ） E.微分应用 (a) 洛尔均值、均值定理（拉格朗日均值）、柯西均值 　需会其证明，并得以利用上述定理证明不等式或求近似值 (b) 单变函数极值 　紧扣临界点（Critical Point）概念，求得後（端点、平稳点、奇异点）， 　若判相对，考虑一阶导数判别（增减性改变与否？） 　　　　　或二阶导数判别（凹口向上或向下？） 　若求绝对则直接代入临界点求值比较大小 (c) 反曲点（Inflection Point）概念 二阶导数为零，三阶导数不为零之点（此为Adams之定义） 　广义些，只需左右凹性不同，不需具二阶导数存在（Larson之定义） (d) L'Hospital 标准不定型（零分之零，无穷分之无穷）时可用， 　常见於分式型，指数型，可配合等价式简化运算。 (E) 作图 　综合凹性增减性判断、极值判断、函数奇偶性判断 　反曲点概念、渐进线求法，善会表格後依表作图 F.不定积分 没什麽重点，因为全部是重点…熟悉基本积分运算！ (a) 变数变换法 (b) 分部积分（IBP） (c) 全角代换法（常用於平方和平方差带有根号） (d) 半角代换法（常用於sin, cos与多项式并於分母项） (e) 其他：积分渐化式 E.积分应用 (a) 微积分基本定理之证明及内涵 (b) Lebniz微积分式（可经化简为微积分基本定理） (c) 积分求面积（由函数型态判断假设方向） (1)显函数 f(x), g(y)型 (2)参数表示 x = f(t), y = g(t)型 (3)极座标型 首要画略图，求交点，判断函式大小後， 　可能分段积分，莫忘由交点判别上下限， 　其余则是不定积分功力的熟稔。 注：此型题目有时可以Green's Theorem转为线积分做运算 (d) 旋转体体积（圆盘法、壳层法、Pappus's Theorem） 同上，需由函数型态判断列式方向， 　小心题给函数无法以显函式表示时，圆盘法无法得解， 　需用壳层法求得（相关例题可见99台大微乙期中） (e) 形心、重心 　熟记定义，列式求解 (f) 旋转表面积（重点同c,d） (g) 积分求弧长（重点同c,d） (h) 瑕积分 熟记各种判别方式和瑕点分类判别， 　常见 P 积分、 P 级数敛散和收敛值可背尽量背。 　需小心奇函数敛散特性，若单边发散，则发散， 　不会有因为奇函数对原点对称而必收敛至 0 之现象。 (i) 黎曼和 依循黎曼和的概念：分割、取样、求和。 　并配合高中级数公式求解。 　 G.多变函数 (a) 求极限值 尽量往极限不存在做思考，善用线性代换、极座标代换、球座标代换 (b) 连续性（同单变数概念） 　若具连续性，则有 f = f xy yx (c) 偏微分、全微分 善用函数关系树状图以便於 Chain Rule 应用， 　此处有个概念：可偏微未必具连续性，但可全微分必连续 (d) 梯度、旋度、散度、方向导数 梯度和方向导数概念务必了解，切莫混淆， 　此为求解多变数极值、切平面方程式重要基础， 　旋度和散度则需了解其定义及物理意义。 (e) 多变函数极值 　通常有以下四种方法 (1)极值理论 利用有极值的必要条件 df = 0 求得临界点（同单变数极值） 再利用 Hessian Matrix 判别极大极小或鞍点， 双变数则直接套用判别式 D = f f - f ^2 做判别 xx yy xy (2)柯西不等式 (3)算几不等式 (4)拉格朗日乘子法（Lagrange Multipier） 若题目含有限制条件时优先考虑， 　　　 注意目标函数、限制函数、拉格朗日函数的选取与假设。 　注：有题目需讨论边界点及内部点，需注意！ H.重积分 (a) Fubini's Theorem (b) Jacobian 座标转换（球座标、极座标、广义座标，有时须转换多次） 需熟稔的是变换积分次序後的上下限该如何判别， 善用绘图和不等式运算。 I.数列与级数 (a) 数列 数列收敛和发散之定义，可配合极限一并研读， 可稍稍阅读高中等比数列和等差数列。 (b) 级数敛散 正项级数，熟练各种判断方法。（熟记 P 级数） 　 交错级数，同上，并需知晓莱布尼兹收敛条件 (c) 收敛区间、收敛半径 　由级数型式配合根式检验、比值检验法求收敛半径， 　 依此可得初步收敛区间，再代入边界点检验敛散， 　可得真正敛散区间。 (d) 级数求值 (e) Taylor's Theorem, Maclaurin Series 记忆泰勒展开型式，并了解马克劳林级数与其关系（展开点 x = 0） 此处有求近似值和求其级数展开， 　需熟记常见之级数，证明则由定义出发， 　或采已知级数做四则运算（如tanx = sixx/cosx） 或采无穷等比级数展开配合积分（如arctan x） 或采二项式展开配合积分（如arcsin x） J.向量微积分 (a)线积分 纯量函数线积分，向量函数线积分（可拆为多项纯量函数线积分求解） (b)积分路径相关性 即函数是否具保守性（利用旋度是否为 0 判断） 配合路径变形原理的应用（挖洞与否？） (c)Green's Theorem, Stoke's Theorem, Gauss Divergence Theorem 熟记其公式，题目多为基础公式， 并需了解其物理意义，和使用条件 　 注：此处可一并和微分方程、全微分单元阅读 　　了解恰当型（Exact）微分方程之求解方法 K.微分方程式 (a)分离变数型 (b)正合恰当型( Exact ) (c)非正合，求积分因子，乘回为正合，再求解 (d)线性标准型，代公式 (e)白努利变换型，转为标准型後代公式 (f)Cauchy - Euler型 注：此处仍有一小观念，即齐次函数定义。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 218.163.90.174 是打错了XD 顺便修一些错字~ ※ 编辑: BaBi 来自: 114.46.115.95 (10/26 20:34)