作者znmkhxrw (QQ)
看板ToS
标题Re: [闲聊] 开黄泉後盘面五属珠都>=3颗的机率
时间Sun Sep 10 14:58:33 2017
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 大家好(‧^ω^‧)
: 刚刚狂日大大问了个 TOS-MATH 问题如题
: 正常关卡(非禁珠)下开黄泉洗珠，每一属(不含心)都≧3颗的机率是？
答案：0.544634557955
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原本认为手算就算捏烂LP也算不出来
不过在今天早上先捏一下下後，发现其实很多项可以couple在一起(‧^ω^‧)
接着再藉由计算网页就得到许多网友跑程式的结果了
【问题】
假设全版洗盘後版面是平均分布六色珠(含自消盘面)，那五属性各至少3颗以上机率是？
【答案】
分母 = 全部盘面 = 6^30 = 221073919720733357899776
分子 = 五属性各至少3颗
= 全部盘面 - 至少有一属≦2颗
= 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640
= 120404496542385708415136
机率 = 分子/分母 = 0.544634557955
【证明】
令 S为所有盘面所成的集合
#(any set) := 此集合的元素个素
令 A 为水珠≦2颗的盘面所成的集合
A_1为水珠＝2颗的盘面所成的集合
A_2为水珠＝1颗的盘面所成的集合
A_3为水珠＝0颗的盘面所成的集合
则 A=A_1∪A_2∪A_3, 且
三者互斥(两两交集为空集合)
同样的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)
因此我们所求的
"五属珠至少有一属≦2颗"
其实就是 #(A∪B∪C∪D∪E)
之後根据排容原理
#(A∪B∪C∪D∪E)
= Σ#(单一集合) - Σ#(两两交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)
接着观察到
A,B,C,D,E是对称的
因此
每个Σ内只要算一次，之後
乘上交集可能方法数即可，具体如下：
(1) Σ#(单一集合) = C(5,1) * #(A)
(2) Σ#(两两交集) = C(5,2) * #(A∩B)
(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)
(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)
(5) Σ#(全交集) = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)
最後，就是分别计算以下项目：(" ** "代表次方" ^ ")
(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)
= c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30
(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) +
#(A_1∩B_2) +
#(A_1∩B_3)
+
#(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) +
#(A_2∩B_3)
+
#(A_3∩B_1) +
#(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)
= c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30
+
2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+
c(30,2)*4**28+
c(30,1)*4**29]
【红色部分也是简化关键，因为
浅蓝那两个项一样、
绿色一样、
紫色一样
】
(c) #(A∩B∩C)
= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30
+
3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28
+c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29
]
+
6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27
]
(d) #(A∩B∩C∩D)
= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30
+
4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24
+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29
]
+
6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26
+c(30,2)*c(2,1)*2**28
]
+
12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26
+c(30,3)*c(3,2)*2**27
]
(e) #(A∩B∩C∩D∩E)
= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1
+
5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)
+c(30,1)
]
+
10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)
]
+
20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)
]
+
30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)
]
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最後一步了！藉由心算或是电脑计算即可得
#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640
接着答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30
掐指一算 = 0.544634557955 (‧^ω^‧)
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说真的...按run的那瞬间好怕答案跟版友的程式解不一样
我没有勇气回头再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\
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1F：→ angelio: 我不行了，楼下推 09/10 15:00
真没挡头
2F：推 kimisawa: 先end再推 09/10 15:00
3F：→ yorkyoung: 我也不行了，楼下帮 09/10 15:00
4F：推 sisn: 还好啦，这应该还是高中数学的范围。 09/10 15:01
5F：→ qwe20: end 09/10 15:01
6F：推 onedozen: 看第一行答案而已，後面楼下专业的来 09/10 15:01
7F：→ MoDerF: 数学之塔 09/10 15:01
8F：→ fish000542: 浪费才能 09/10 15:04
9F：推 jj920408: 嗯嗯嗯 09/10 15:06
10F：推 swfhome: 嗯嗯嗯 我算也是这样 09/10 15:07
11F：推 absgpc: 嗯嗯嗯，可以可以 09/10 15:08
12F：推 xeriok40364: (‧^ω^‧) 09/10 15:08
13F：推 yorkyoung: 那可以算小妹的吗 09/10 15:08
14F：推 yoyojkjk1155: 嗯嗯 跟我想的一样 09/10 15:09
15F：推 ashon: 我昨天就跟你说是这样算了 09/10 15:10
16F：→ znmkhxrw: 谢谢雄吼 09/10 15:14
17F：推 kelvin1105: 跟我想的差不多 09/10 15:21
18F：嘘 cha761221: 抱歉乙恩这麽专业还是得嘘 09/10 15:22
19F：推 kobelake: 跟我算的差不多! 09/10 15:22
20F：推 rehearttw: 推！这就是专业！ 09/10 15:24
21F：推 s820912gmail: 认真推 09/10 15:24
22F：推 copy2345678: 小子，你真行! 09/10 15:27
23F：→ vincent81614: 喔喔 跟我算的一样欸 不错喔 09/10 15:28
24F：推 eternaldark: zn老师 可以用高中程度说法简单说明吗=3=/ 09/10 15:30
你才老湿
这是高中排组阿
25F：推 iso022000: 昨天我也是依这个逻辑想，想到排容就睡着了 赞赞 09/10 15:31
26F：推 yahooyamgoog: 跟我心算的差不多给推 09/10 15:34
27F：推 angelio: 指考出题委员：赞，有题目跟答案，明年出这题。 09/10 15:39
28F：推 pinkcircleee: 我也是这样算的！ 09/10 15:55
※ 编辑: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 16:26:02
29F：推 dennishsieh: 文组豆页疼 09/10 16:30
30F：推 ntnnthree: 摁跟我想的一样 09/10 16:34
31F：推 wenzhong: zn回来了 09/10 16:39
32F：推 shinelusnake: 之前学测才出过神魔12宫排列 看来今年指考又有得出 09/10 16:43
33F：→ shinelusnake: 了 09/10 16:43
34F：推 chanyoung526: 赶快推个 不然别人会以为我看不懂 09/10 16:46
35F：推 rongrong421: 我推 虽然看不懂XDD 09/10 17:01
36F：推 tom51709: 赶快推个免得别人以为我不懂 09/10 17:08
37F：推 crazysun: 推 想不到我的好奇 可以钓出三篇文 09/10 17:10
38F：推 crazysun: 有一篇标题不一样 是四篇 09/10 17:11
39F：推 wby0122: 只有我看不懂吗 09/10 17:13
40F：推 passbyks: 五成机率解五属强化 看在有奶的份上没问题 09/10 17:25
41F：推 tsuduki: ∩_∩ 09/10 17:26
42F：推 ilsr: 嗯嗯，很合理～(嚼 09/10 17:37
43F：推 feyhs: 不是zn 不写论文 09/10 17:45
44F：→ feyhs: 若是zn 就是能 长篇大论 09/10 17:45
45F：推 Galiburn: 恩，跟我想的一样 09/10 17:46
46F：推 slightbluesk: 庭院深深深几许 09/10 18:17
47F：推 a3225737: 恩恩 跟我想得差不多 09/10 18:23
48F：推 arcslam: 推个 09/10 19:11
49F：推 card: 专业给推~ 09/10 19:12
50F：推 Abysslol: 真的是高中排组概念 但是数字很大会哭就是 09/10 19:17
51F：推 teddybear221: 这篇可以写论文了 太狂啦~ 09/10 19:32
52F：推 cloudxyz: 我排容想两步就放弃了，你居然真的算！ 09/10 19:35
老实说我算到#(A∩B)後 还没观察到有些项相等时 这个有9项
但是如果继续算下去
#(A∩B∩C) 有27项
#(A∩B∩C∩D) 有81项
#(A∩B∩C∩D∩E) 有243项 乾你老师
还好藉由对称性发现其实这243项有可以分成1个 5个 10个 20个 30个
※ 编辑: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 19:44:00
53F：推 amigo30143: ZN有补充文章长度我就推XD 09/10 21:28
54F：推 XSperanza: 看不懂就是要推! 09/10 23:40
55F：推 ARTCOM: 看不懂路过推== 09/11 00:00
56F：推 crazysun: 推 ~~ 09/11 00:43
57F：推 blackkingk: 快推，免得被说看不懂 :P 09/11 01:12
58F：推 kivenbeach: 我只会算AUC还是推个 09/11 01:33
59F：推 wind1729: 其实有想过 只是没有勇气把他算出来 09/11 03:24
60F：嘘 gino928: 喔。啊不就好棒棒 09/11 04:51
61F：推 omyg0d2007: 推 但是我看不懂XD 09/11 10:34
62F：推 M013: 文组崩溃☺ 09/11 13:15
63F：推 hedes: 还好第一行就有结论XD 09/11 13:55
64F：推 lkjhgfdsa681: 这太厉害不推不行 09/15 17:28