这篇文章的目的是探讨签了国民党的公投连署书会有什麽风险，以及死亡人数的合理性。 这里用曾铭宗的『火力发电每 5 年减 5%』当作例子。这个案子在第一阶段时共交出 4294 份连署书，其中 83 个连署人在提案前死亡，提案前死亡率 1.93%。 一个人的死亡风险可以量化为下一秒钟死亡的机率(简称瞬时死亡率)。瞬时死亡率的数值 会随着年龄而增加。我们可以用内政部户政司 (参考资料1) 的人口统计资料来计算正常人 的瞬时死亡率，并且和国民党连署人的瞬时死亡率做比较。这篇文章的资料来源是 "02县市人口数按性别及年龄(8909)" 以及"10县市死亡人口按五龄组(按发生)(96) "。所 有成年人口按照年龄被分为 20~24, 25~29, ... 95~100, 100+ 等 17 个年龄层。为了简 化问题，我们假设: 1. 全国属於同年龄层的人都有相同的瞬时死亡率。 2. 所有人都是在 1/1 出生，因此瞬时死亡率的数值在每年 1/1-12/31 的期间不会发生变 化。 根据 Ross (2003) 第 5 章，余命 t 的分布是 (参考资料2): f(t) = m(t) * exp(-M(t)) (1) 其中 m(t) 描述瞬时死亡率随时间的变化，M(t) 是 m(t') 从 0 到 t 的积分。假设某一 个人在时间点 s 存活，则他在时间点 t 之前死亡的机率为 P(T < t - s) = exp(-M(s)) - exp(-M(t)) (2) 设时间点 s 有 n 个同年龄的人，其中 k 人在时间点 t 之前死亡，利用 (2) 可以建立 n, k 的 log likelihood function: L1(p) = (n - k) * log(1 - exp(-M(s)) - exp(-M(t))) + k * log(exp(-M(s)) - exp(-M(t))) (3) 其中 p 是瞬时死亡率。M(t) 随时间变化会使得计算困难。为了简化计算，我们只用 2017 年的统计资料来计算正常人的瞬时死亡率。由於没有跨越 12/31，所有人的瞬时死亡率都 不会改变，所以 (3) 可以简化为 L1(p) = -(n - k) * p * (t - s) + k * log(1 - exp(-p * (t - s))) (4) 最佳化 L1 可以算出某一个年龄层的瞬时死亡率。然而国民党的连署资料里面没有包括连 署人的年龄层，所以我们没办法用 (4) 来估计连署人的 p。为了简化问题，我们假设: 3. 连署人死後立即复活。 4. 连署人是从全国成年人口中随机选取。 5. 所有连署都在连署期间第一秒完成。 如此一来 n 个人里面有 k 个死亡的机率变成 Poisson distribution: L2(p'|n, k) = P(k) = exp(-n * p' * (t - s)) * (n * p' * (t - s))^k / k! 其中 p' 是多个年龄层的平均瞬时死亡率。假设 3 使得任何时间点有可能死亡的人数增 加，假设 5 让连署人有较多死亡时间，因此两条假设都会造成低估瞬时死亡率的效果。 L1(p) 的最大值发生在 p=-log( (n - k) / n) / (t - s)，而 L2(p') 的最大值发生在 p'=k / (n * (t - s))。2017 年有 365 天，相当於 31536000 秒。令 s=0,t=31536000 并且将内政部的统计资料代入 n, k，可以算出个别年龄层的正常人的瞬时死亡率: age| 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 50~54 ----------|-------------------------------------------------------------- n| 1612252 1613006 1694805 2042067 1867833 1821639 1849784 k| 708 796 1370 2528 3742 5497 8133 ----------|-------------------------------------------------------------- p(from L1)|1.39e-11 1.56e-11 2.56e-11 3.92e-11 6.35e-11 9.58e-11 1.39e-10 p(from L2)|1.39e-11 1.56e-11 2.56e-11 3.92e-11 6.35e-11 9.56e-11 1.39e-10 age| 55~59 60~64 65~69 70~74 75~79 80~84 85~89 ----------|-------------------------------------------------------------- n| 1803720 1595004 1236856 700641 613036 422521 272260 k| 10868 13199 14700 14163 20646 24289 26452 ----------|-------------------------------------------------------------- p(from L1)|1.91e-10 2.63e-10 3.79e-10 6.47e-10 1.08e-09 1.87e-09 3.24e-09 p(from L2)|1.91e-10 2.62e-10 3.76e-10 6.40e-10 1.06e-09 1.82e-09 3.08e-09 age| 90~94 95~99 100+ ----------|-------------------------- n| 114234 27646 4350 k| 16782 5475 1024 ----------|-------------------------- p(from L1)|5.03e-09 6.99e-09 8.51e-09 p(from L2)|4.65e-09 6.27e-09 7.46e-09 用 L1 和 L2 估计出来的数值非常接近，可见假设 3 没有造成太大的误差。最後我们假设 所有连署书都没有作假，也就是说 83 个人都是在签了连署书以後才死亡。 假设第一阶段连署花了 30 天的时间，相当於 2592000 秒。代入 s=0, t=2592000， n=4294 以及 k=83，可以算出连署人的平均瞬时死亡率 p'=7.45729e-09。正常人的平均瞬 时死亡率为 p0=2.881751e-10 (用 L1 的估计值计算)。也就是说，假设连署人是从全国成 年人口随机选出而且所有连署书都是真的，则签了连署书以後会让瞬时死亡率提高至少 25.87 倍。 令 LR = L2(p0|n, k) / L2(p'|n, k)，-2log(LR) 可以用来判断我们的假设和观察到的 死亡人数是否符合。p0 和 p' 的差异愈大，-2 log(LR) 的数值就愈大，超过某一个临界 值我们就可以判定假设是错误的。根据 Wakeley et. al (2008), -2 * log(LR) 的分布 近似於 degree of freedom 为 1 的 chi-square distribution (参考资料3)。在显着水 准 0.05 之下，用 chi-square distribution 可以算出 -2log(LR) 的临界值为3.84。 令 p0=2.881751e-10，p'=7.45729e-09，得到 -2log(LR) = 380.48。如果国民党的连署书 不会造成瞬时死亡率增加，就表示我们的假设至少有一条是错的。修正假设 3, 5 会让 p' 的估计值增加，导致 -2log(LR) 的数值更大，显然没有帮助。由於瞬时死亡率会随着年龄 层增加，我们可以将假设 4 修正为连署书随机从高龄人口选取。根据内政部统计资料可以 算出以下的结果： age| 20+ 25+ 30+ 35+ 40+ 45+ 50+ ---------|-------------------------------------------------------------- p0|2.88e-10 3.13e-10 3.43e-10 3.80e-10 4.36e-10 5.03e-10 5.89e-10 -2log(LR)| 380.47 367.21 352.75 336.40 314.67 292.58 268.33 age| 55+ 60+ 65+ 70+ 75+ 80+ 85+ ---------|-------------------------------------------------------------- p0|7.12e-10 9.00e-10 1.20e-09 1.67e-09 2.16e-09 2.95e-09 4.03e-09 -2log(LR)| 239.71 204.96 163.95 119.46 87.51 53.58 25.78 age| 90+ 95+ 100+ ---------|-------------------------- p0|5.51e-09 7.20e-09 8.51e-09 -2log(LR)| 6.87 0.09 1.51 因此，如果连署书没有造假而且没有特殊效果，唯一的可能是所有连署人的年龄都超过 95 岁。如果连署人是从全国成年人口随机选取而且所有连署书都没有造假，则签了连署书会 让瞬时死亡率提高至少 25.87 倍。建议爱惜生命的人千万不要参加国民党的连署。如果已 经超过 95 岁那就另当别论了。 参考资料 1. 内政部户政司人口统计资料 https://www.ris.gov.tw/zh_TW346 2. S. M. Ross (2003), Introduction to probability models 8th edition. 3. D. D. Wackerly, W. Mendenhall III and R. L. Scheaffer (2008) Mathematical Statistics with Applications 7th edition --

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