这几天收到了一些版友站内信，回了些问题 然後发现其实推文也有人问到类似的事情，想说再占用版面一篇文，稍微来讲清楚一点好了 另外，前几篇文被现实中圈内的朋友给认出来了，稍微聊了一下 保险起见，在开头先加个警语 本文与系列文均在讨论杠杆策略 杠杆具有放大投资效果的功用，用在正确的时候可以获得更多报酬 但是在相反走的走势时，可能会出现比预期中更大的亏损，致使因为人性做出错误的决策 因此「不推荐」任何原只有纯指数被动投资经验的投资人 在看完文章後，就直接套用系列文中提到的任何策略 相关的投资策略，还是请自行研究，或者找专业人士谘询号再来做决策 好，就这样，免责声明到这边，那我们就来看正文吧 ---------------------------------------------------------------- 友情提示，本文含有数学 为了易读性，我尽可能省略掉不必要的公式与计算，改用概念来解释 因此如果有用词不精确的地方，还请版上大神轻鞭 1.蒙地卡罗有效性的再解释 首先，先来个最多人问的问题，还是关於2008年那篇论文 有人提到，2008年後进入了後量化宽松时代，那这篇论文的结果是不是就不适用了？ 好吧，看来有必要先解释一遍蒙地卡罗到底怎麽算出3万条路径这件事情了 我们先来看一个经典的问题，醉汉走路，学过统计或是统物的应该很熟悉 有一个醉汉，喝得烂醉，以至於分不清东西 他每秒钟都会随机的往东或是往西踏出一步，两个方向机率均等 请问，在经过足够长的时间後，在哪个位置最有可能发现这个醉汉？ 没学过统计的版友，到这边可以停下来思考一下再往下翻 答案是，原点的率最高，有意思吧 而且还可以用数学来证明，时间够长的话，他会回到原点无数次 但是，如果这时候有一阵固定往东的微风吹来，影响到醉汉的脚步 那这时候，我们可以观察到，虽然一开始还会走回原点，不过随着时间经过 醉汉会开始平均起来往东方越走越远，几乎不会再回到原点 你如果从Robert Shiller所制作的1871年至今的美股回溯数据来看 你会发现确实有这种感觉，一开始还会走回原点，随着越往近代，基本上不回再走回去 至少......应该版上没有人希望真的走回去吧(笑 这个就是作为现代金融数学的一个基础假设，随机漫步理论 这个理论认为，股价是随机跳动的 我们无法预测明日、甚至下一秒的股价涨跌变化 想体验的话，可以到置底闲聊底下跟着AVAV喊一会就可能有感觉 (对了，说到这个，虽然说我觉得股版版友应该没有人不知道这本书了 不过如果真的有的话，十分推荐至少读过一次《漫步华尔街》这本经典) 而我们可以根据刚刚说到的，有漂移的随机漫步，写出资产价格的连续变化方程 https://i.meee.com.tw/CBv88fV.png 大学读财经相关专业的版友应该很熟这条，选择权定价的那个Black-Scholes模型就会用到 这其中，St代表资产价格，应用在等等要说的主题，你可以当成是指数价格 μ就是前面说到的漂移项，对应在这边可以想成是指数的长期平均报酬 σ就是资产价格的波动，你可以简单想成往东往西走多少距离的机率 (当然，实际上我们再计算时会用的是价格函数对数版本，这边只是简化为概念 所以等等有些叙述可能会没那麽精确，不过为了方便理解请容许我稍微不那麽严谨一点) 对於市场的模拟，我们可以把时间切分到日为单位的跳动 也就是说，μ取日平均报酬，σ用日波动率 以2008那篇论文使用的参数，他是用μ= 0.04%、σ=1.1%作为美股长期的参数 (换算成年化，大概就是10%报酬、18%波动) 然後进行蒙地卡罗模拟，对报酬的随机项抽选一个符合常态分布的随机数 并且连续执行你想要的天数，来建立出一条在这样的报酬、波动率下 有可能出现的股价走势路径出来，然後论文内按照这种方式建立了3万条可能的路径出来 也就是说，回到一开始的问题，後QE时代会不会有什麽改变 如果你拉长到100年的尺度来看，虽然市场这几年进入大牛市 但是从百年级的尺度来看，并没有明显永久影响到长期报酬和波动率的参数 也就是说，这本来就是在理论上可能出现的走势之一 只要你模拟够多次，出现类似最近几年走势，甚至更加夸张的路径 数学上来看都是可能的 加上那篇论文的重点，并不是在定性描述「长期平均年化一定只有原型1.4倍」这件事 而是在说，all-in并长期持有LETF，并不会让你获得两倍原型平均年化报酬这个结论 2.关於论文作者的後续研究 推文中与大仁哥的回应都有提到，作者後续的论文有转变他对LETF的态度 Trainor教授的一些论文我也有读过，有几篇在LETF相关领域也是蛮多引用数的 不过我其实没有特别统性的，去针对他的论文每篇详读过 於是这几天花的点时间，把他发表的论文中有提到LETF的，按照年份推进读了遍 (这也是为什麽这篇文现在才出来) 整理了一下之後，稍微说点想法 当然，这很可能只是我个人的臆测，毕竟我不可能有机会跟Trainor教授本人确认这件事情 首先，我其实不认为作者有出现很明确的立场转变这件事 其实他在第一篇论文中，并没有明确的「反对」用LETF进行投资 相反的，在结论的第一句他就说了 "The evidence presented in this paper shows that investors can secure higher returns using leveraged ETFs." (本文提供的证据表明，投资人可以透过LETF获得更高的报酬) "But even for annual returns, investors should not expect their returns to be twice that of the index. " (但即使是年化报酬，投资人也不应预期其报酬是指数的两倍。) 并且後面，他也提到了两个观点 1.将LETF当作交易工具或许是种有效的策略，但是风险趋避型的投资人仍应保持谨慎 2.对於使用保证金来开指数杠杆的长期投资人，采用LETF或许是更优的选择 不过关於第2点结论须稍微注意，这是基於美国利率下的结论，台股不一定可以直接适用 然後接下来，Trainor教授又陆续发表了几篇关於LETF的风险与波动计算的论文 再之後，他又做了些关於怎麽在投资组合中，运用LETF来动态调整的研究 最後在2020年，他给SEC发了一封意见信，信中他系统性的回顾自己对LETF做的研究 并且提出了一些意见，这里只看针对散户投资人的部分 1.他的研究显示，只要正确使用，LETF可以降低长期投资的人风险，或是提升风险调整後的报酬 2.LETF的风险不同於选择权与期货等衍伸性金融商品，过度严苛的销售限制是没有必要的 我没有追踪这封意见信对後续2020修订新的规则有什麽影响，如果有更懂得版友可以补充一下 不过我认为，至少从一个研究者的视角来看(指Trainor教授本人) 他应该是清楚金融商品的风险与报酬关系的，也就是说任何金融商品 只要在了解的情况下正确使用，都有他出场的场合 而且在他後续那些关於用LETF加入投资组合的研究中，还是有提到 单纯长期buy-and-hold一档LETF仍然不是一件好的选择 但是如果是经过设计将LETF加入投资组合，可以同时达成降低风险并且提升报酬率的目标 3.LETF的定期定额 推文有提到，如果采用定期定额的方式来买入LETF，不额外做其他配置的话 是不是可以增加抽中正确路径的机率，类似买彩券的概念 关於这问题，我的回答是，是，也不是 是的部分，没错，由於LETF不只对起始点，路径的敏感性也比原型指数高 因此你分散在不同的时间买，确实可以做到分散风险的概念，或者说提昇抽中的机率 也就是说，你某一次，或是某一群时期定额购入的LETF，可能可以走在完美的路上 但是，不是的部分就跟所有的DAC策略一样 首先，从总资产的角度来看，几次的完美路线，同样可能也会碰到几次的大失败路线 再加上一坨普通路线，最後得到差不多的结果 从数学上来说，就是单纯降低了方差，但是可能会牺牲掉一点报酬的期望值 再来就是，随着你的总资产成长，你DAC所带来的分散风险效应 对总资产占比的影响越来越小，小到可以忽略了，也就是说有他的极限在 最终还是会变成接近单笔all-in的风险 如果真的想要规避风险，唯一的解方还是整体资产组合的再平衡 根据大量文献的结论，可以有效的提升下限，更高期望值的取得高於平均的报酬 当然，从右尾来看，再平衡策略的极限报酬是不会有all-in LETF来的高的 如果你的目标就是奔着那个1%的极高报酬而来，那就自己评估风险承受能力就好 而且最终，当你资产成长到8位数甚至9位数规模的时候，还能持许抱持all-in的策略的话 那我只能说，阁下有着一颗过於常人的心脏，一定可以长命百岁(笑 至少我没那种心脏，所以我选择的是多资产的不同杠杆率，并定期再平衡 另外提一下，偶尔会看到有人拿整段历史路径来做回测 证明LETF长期会打赢原型超过1.4倍这件事情 首先关於1.4倍的误解我就不再重复了，前面几篇都有完整解释 这里想补充的是，回测时间段本身就会影响你看到的LETF表现 必须阐明的是，LETF作为一个路径依赖明显的产品 就算你原型指数开头结尾是相同的，中间走过不同的路径 都会导致你所看到的LETF报酬结果有所不同，甚至有很大的差异 (这也是我上一篇说的那个2000~2010的魔王关) 因此，你去看整个历史段的累积报酬 除非你真的是在 LETF 上市那一天就买进，之後一路不动 不然那条「从上市到现在」的回测曲线 和你实务上在中途不同时间点才开始投入、甚至分批定期定额的体验 都会有很大的落差，没有实质的参考意义 另外还有一点，关於滚动回测这件事情 从LETF本身的数学结构上来说，我也同样认为参考价值是有限的 因为对起终点还有路径的敏感，你在做滚动回测的时候，非常容易因为一点点的跳动 导致结果一下是杠杆大赢，往前1、2年却又变成大输的结果出现 有些人甚至会进一步统计「LETF vs 原型ETF」的区间胜率 而从长期投资的角度来看，我个人觉得这个对你策略的调整没有太大的贡献 当然，如果这样能让你安心，并且愿意继续持有下去的话，那我不反对 毕竟回到一个现实的重点：投资永远绕不开人性 就算是专业投资人，也不是每个人都能够面无表情地看着波动机械操作 4.左侧与右侧交易 另外，有人提到再平衡是左侧还是右侧交易，有没有追高杀低问题 如果你看LETF的内再平衡的话，确实他的每日再平衡是一种「追高杀低」没错啦 不过如果是看我们自己的外再平衡的话，基本上以最简单的「股+现」模式 都是属於逆势交易的一种，也就是低买高卖 跌的时候，曝险下降所以买入更多资产；涨的时候，因为曝险上升所以卖出资产 而且同样根据论文的结果，大多数再平衡最有利的模式也确实是逆势交易 以美股为标的的论文，一般都是采用LETF + T-Bill的形式来进行再平衡的 通常这种策略期望值优於纯原型的机率很大，甚至连不算利息成本的融资都赢不了他 5.额外花絮：内再平衡周期与趋势的探讨 本来是打算写到第五段的啦，然後写到这边突然发现 好像有点太长了........再写下去大概就会被当废话不想看了(笑 所以我这边稍微提一下就好，改天如果还有机会再稍微展开来讨论 我们前面有说到，股价是随机漫步，是金融数学的一个基础假设 但是如果不是呢？而且，其实有不少证据证明股价不是完全随机的 例如从自回归的角度来看，股价其实可以写出一个自回归模型 长期来看，今天的股价跟昨天可能会有关 但是你不能预测相关性，只是可以观察出现在是处於正的相关还是负的相关上 在一个理想的随机漫步市场的情况 如果拿「同样是n倍杠杆」来比较，「n倍LETF」的期望复利报酬，不会比「n倍原型ETF」差 反而还会多一点点因为天天放大的复利bonus 但是现实中，由於LETF有管理费、追踪误差，实际上股价也有自回归的特性 因此就会出现其实大家应该都有感觉到的那种 单边行情的时候，表现得比单纯两倍好，但是高波动的时候就会被震荡吃垮的特性 不过这边的数学更多了，有点不太好整理成文章，所以就.......有缘再说吧 -------------------------------------------------------------------------- 後记： 这好像是第四篇了，没想到居然会变成系列文吗...... 不过真的开始写些东西才发现到，其实要把自己的想法写成文章还真的挺难的 尤其是一些数学的东西，要用尽量简单但又不失精确的比喻来描述出来 总之，感谢股版版友的支持，听小弟用不成熟的文字在这边写些废话 --

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