作者saltlake (SaltLake)
看板Statistics
标题[问题] 证明倘在或然率收敛就在分布上收敛
时间Thu Jan 8 06:25:50 2026
若随机变数序列 Xn 於或然率上收敛，则其於分布上收敛。
以数学是表达如下:
Xn -(P)-> X => Xn -(D)-> X
换言之，令
F(X) 为 X 的累积或然率函数
Fn(X) Xn
则 F(X) 为 Fn(X) 的极限函数，亦即数列项数 n -> Inf 时的极限函数。
证明的思路是用夹挤方式，
F(x-eps) <= infFn(X) <= supFn(X) <= F(x+eps)
对上式取极限後，基於 lim(n->Inf)eps = 0，左右夹挤证明之。
但是推导必要的左右不等式之时，过不去。
Fn(x) = P(Xn <= x)
= P(Xn <= x, X <= x+eps)
+P(Xn <= x, X > x+eps)
<= P(X <= x+eps)
+P(abs( Xn-X )) <-- 怎从上个等式走到这个不等式?
= F(x+eps) + P(abs( Xn-X ) > eps)
F(x-eps) = P(X <= x-eps)
= P(X <= x-eps, Xn <= x)
+P(X <= x-eps, Xn > x)
<= Fn(x) + P(abs( Xn-X ) > eps) <-- 怎从上个等式
走到这个不等式?
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