※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言： : 型一和型二误差之间可以用数学式明确描述其关系吗? : 倘以火灾警报器来看，其基本结构乃一个烟雾侦测器连结一个 : 判别器与警铃。一旦侦测器吸入外界烟雾浓度经判别器判断高於 : 设定的阈值，就启动警铃报警。 : 型一误差的定义是没有火灾却响铃报警，即警报器阈值太低。 : 反之，型二误差的定义是有火灾却不响警铃报警，即警报器阈值 : 太高。换言之，调整阈值数值可以影响这两型误差。由这两型误 : 差与阈值关系看，两型误差有彼此节抗关系--提高任一者数值的 : 同时会降低另者数值。 : 既然两型误差间有关系，请问如何推导出其数学表达式? 型一错误和型二错误本质上是根据随机变数在不同的假设下 超过或不超过critical value的条件机率 所以要写出数学式需要先有知道不同假设下的机率以及随机变数的机率分配 背後还有一个最重要的假设 型一错误可以透过critical value控制 (我也不知道该说这是定义还是假设，但型一错误本来就是拿来控制的) 以这个情境来说 火灾(Ha)跟没火灾(H0)就是相对应的两个假设 观测到给警报器侦测的T是随机变数，而设定好的阈值是t (即critical value) 假设T超过t会响警报，t愈大型一错误机率愈小 这边就假设火灾发生的机率是p，没火灾的机率是1-p好了 另外因为也知道T的机率分配，就假设P(响)=P(T>t)=w，反之P(没响)就是1-w 令型一错误机率=a 型二错误=b 因此 型一错误=H0假设下拒绝H0=P(响|没火灾) =P(响 且 没火灾)/P(没火灾)=P(响 且 没火灾)/P(没火灾) =>型一错误*P(没火灾)=P(没火灾 且 响)=P(没火灾)-P(没火灾 且 没响) =>P(没火灾 且 没响)=P(没火灾)*(1-型一错误)=(1-p)*(1-型一错误)=(1-p)(1-a) 型二错误=H0假设错误(即Ha假设)下接受H0=P(没响|火灾) =P(没响 且 火灾)/P(火灾)=[P(火灾|没响)*P(没响)]/P(火灾) =P(没响)(1-P(没火灾|没响))/P(火灾) =[P(没响)-P(没火灾 且 没响)]/P(火灾) =[(1-w)-(1-p)(1-a)]/p =[p-w+a(1-p)]/p =>b*p=p-w+a(1-p) =>w=p+a(1-p)-bp=a(1-p)+p(1-b) (响的机率=没火灾却响+火灾有响) =>p=(w-a)/(1-b-a)=定值 阈值增加=>w下降x=>a(型一错误)下降=>(1-b)也要下降x=>b增加 阈值降低=>w上升x=>a(型一错误)上升=>(1-b)也要上升x=>b减少 --

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