作者nest0380 (阿比)
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标题[问题] 不尽相异物的排列问题
时间Mon Apr 6 03:58:45 2020
各位先进 小的不才 想请问基础的排列问题
若要将n个不完全相异物进行排列
为何重复的种类的总和要用除的而不是减的？
例如有3颗白球、2颗红球及2颗黄球
我们将其排列的总和为7!/3!*2!*2!
但为什麽不是7!-3!*2!*2!
我知道用减的一定会少 答案一定不对
但这也仅止於强记的阶段而已
我想知道原理是什麽
用除的跟用减的到底差在哪里
请赐教
谢谢
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1F：→ yhliu: 咦? 教本上没说吗. 例如 n 个球中有两个球不可分吧. 比如04/06 08:36
2F：→ yhliu: 两个 0 号球, 其余标示 1～n-2 号. 如果两个 0 号球可分的04/06 08:38
3F：→ yhliu: 话, 共 n! 种排列. 今两个 0 号球不可分, 表示它们两种排法04/06 08:40
4F：→ yhliu: 被视为一种. 因为两个球的任一种排法对应其他球的排法是一04/06 08:42
5F：→ yhliu: 样的, 因此直接 n! 除以 2! 就可以了. 3个球不可分, 以至於04/06 08:43
6F：→ yhliu: 多组不同的球不可分, 都相同想法可以类推.04/06 08:45
7F：→ yhliu: 至於用减法的情形是不一样的, 那是:04/06 08:46
8F：→ yhliu: (不限制时的排组数) - (不被允许的排组数)04/06 08:47
9F：→ yhliu: 例如有 "XX 与 YY 不可相邻" 的条件. 先计算不限制相邻的04/06 08:49
10F：→ yhliu: 方法数, 再扣掉违反条件(也就是XX与YY相邻)的方法数.04/06 08:51
11F：→ yhliu: 请仔细想想这两者的不同: 前者并没有限制 "不允许...".04/06 08:52
谢谢
我是搞不太懂为什麽有重复的组合像是你说的原本排列方法不可分的两个0号球要扣掉的
时候是用除的
12F：→ yhliu: 我们以 n=3 为例来说吧. 3个球 ox1,xo1,o1x,x1o,1ox,1xo04/06 14:05
13F：→ yhliu: 完全能分辨时就是3!=6种排列. 但 ox 和 xo 两种视为一种,04/06 14:07
14F：→ yhliu: 就剩下 oo1, o1o, 1oo 3种. 这是 ox 和 xo 两种排列视为04/06 14:09
15F：→ yhliu: 1种之故. 如果较大的 n, 也是一样, ox 和 xo 被视为同一种,04/06 14:11
16F：→ yhliu: 总排列数就减半. 如果有3个球是不可分辨的, qox 3!=6 种排04/06 14:14
17F：→ yhliu: 列被视为一种, 总排列数就减为 1/6. 有h组不可分辨之物时04/06 14:16
18F：→ yhliu: 道理也是相同的. 04/06 14:16
19F：推 yhliu: 也可这麽想: n个不尽相同物的排列中, 若其中 k 个相同物 04/06 14:21
20F：→ yhliu: 若加上标记使成为可分辨, 是不是原来每一种排列可变化出 k! 04/06 14:23
21F：→ yhliu: 种排刊? 如原来 oo1, o1o, 1oo. 如果两个 o 可分辨, 成 xo, 04/06 14:24
22F：→ yhliu: 则 oo1 变 xo1, ox1 两种; o1o 变 x1o, o1x 两种... 04/06 14:25
意思是说当n=3，有两种球的时候，最直接的排法是3!=6，但因为ox及xo其实是同一种球
，所以2!种排法就重复了要扣掉，到这里我都懂，但就是3!/2!我不太能理解，因为一样
所以要除掉这边我过不太去，是因为2!种其实只有1种所以要均分掉吗？
23F：→ yhliu: 6种排列, 在 xo, ox 其实就是同一种的惰况, 就是说每一种 04/06 17:38
24F：→ yhliu: 排列都重复了2次,xo1=ox1, x1o=o1x, 1xo=1ox. 所以 6除以 2 04/06 17:40
25F：→ yhliu: 就消除了重复, 得到正确的排列数:3. 04/06 17:42
26F：→ yhliu: 说 "均分掉" 有些怪, 其实只是消除重复.04/06 17:44
27F：→ yhliu: 再举个 n=4, k=2 的情形吧. n!/k! = 4!/2! = 12, 表示 oo1204/06 17:46
28F：→ yhliu: 4个球其中2个不可分辨, 其排列法是 12种. 如果 oo 两球可分04/06 17:48
29F：→ yhliu: 辨, xo12 共有 4!=24 种排列. 举些例子, 如 x1o2,o1x2;04/06 17:49
30F：→ yhliu: x21o,o21x; 1xo2,1ox2...这些排列我们故意两两一组放在一起04/06 17:52
31F：→ yhliu: 不难看出这每一组两种排列在 oo 两球实际上不可区分时是同 04/06 17:53
32F：→ yhliu: 一种排列, 也就是每一种排列都被算了2次. 所以 oo12 的排列 04/06 17:55
33F：→ yhliu: 数必须从 4! 中消除这种重复. 因为每一种排列都被算了2次, 04/06 17:57
34F：→ yhliu: 所以 oo12 的排列数就是 4!/2! (或 4!/(2!1!1!).) 04/06 17:58
35F：→ yhliu: 再如 n=4, k=3. ooo1 的排列是 4!/3! = 4 种, 即 ooo1,oo1o 04/06 18:00
36F：→ yhliu: o1oo, 1ooo. 但如 3个 o 可区分, ooo1 这种排列对应了6种. 04/06 18:02
37F：→ yhliu: 重新标记ooo为zxo,则 ooo1→zxo1,zox1,xzo1,ozx1,xoz1,oxz1 04/06 18:06
38F：→ yhliu: ooo1的每一种排列在ooo不再不可区分时都变成 3!=6 种排列, 04/06 18:08
39F：→ yhliu: 就这样我们得到熟知的4相异物 4!=24 种排列. 可是 ooo 其 04/06 18:10
40F：→ yhliu: 实不可分, 所以 ooo1 只有 4!/3! 种排列. 04/06 18:11
感谢你！到这边我懂了，剩下的我有在math版re文底下推文回覆你了
※ 编辑: nest0380 (114.36.180.159 台湾), 04/06/2020 20:02:22
41F：→ yhliu: 假设不尽相同物是: 黑球3,白球2. 那麽白球可区分而黑球不可 04/06 21:09
42F：→ yhliu: 区分时, 依只有一种多个不可区分物的排列数是 5!/3!=20. 04/06 21:10
43F：→ yhliu: 但如白球也不可分, 同样的在前面假设白球可分时等於同样重 04/06 21:12
44F：→ yhliu: 复计算了排列数. 例如 BBWBW 在假设白球可分(例如标记12)时 04/06 21:14
45F：→ yhliu: 被算予2次: BB1B2 及 BB2B1. 又如 BWBBW 也被算2次:B1BB2及 04/06 21:17
46F：→ yhliu: B2BB1. 如此, 3B2W 的排列在假设2白球可区分时都被算了2次. 04/06 21:18
47F：→ yhliu: 所以 BBBWW的排列数 = BBB12的排列数再除以2! = 5!/(3!2!) 04/06 21:21
48F：→ yhliu: 以此类推, n件不尽相同物, 其中有3种物各有 r件,s件,t件, 04/06 21:24
49F：→ yhliu: 则排列数是 n!/(r!s!t!) 此公式可推至更多种各有多件的情形 04/06 21:26