作者celestialgod (天)
看板Statistics
标题Re: [问题] 数统-关於掷硬币问题
时间Sun Oct 13 17:39:33 2019
※ 引述《getsimple (getsimple)》之铭言:
: 大家好
: 我有一题想了很久真的不太知道怎麽做,又找不到人讨论,求求各位大神救救我....
: 我本来看到这题想说y会服从ber(p=1/2),然後x会服从二项,但突然又看到2^(-k),如
: 果直接加入的话好像就不能用二项去算了(?)因为这样的话机率总和不等於1...
: 拜托大家指点~
: 感谢大家,感谢统计版
: https://i.imgur.com/WlcVTxe.jpg
1. 先观察看看
n=1, X_n的值域是0 or 1/2, 机率都是1/2
n=2, X_n的值域是0, 1/4, 1/2, 3/4, 机率都是1/4
n=3, X_n的值域是0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 机率都是1/8
2. 从观察来看,我们可以假设P(X_n = x) = 2^(-n)成立
P(X_(n+1) = x) = P(X_n = x) * P(Y_(n+1) = 0) +
P(X_n = x - 2^(-n-1)) * P(Y_(n+1) = 1)
到这就有点卡住了,先探讨值域
因为X_n = sum_k 2^(-k) *Y_k, k = 1, ..., n
=> X_n的可能范围是从 {0, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n} 取0~n个做和
=> 所以X_n的个数为 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn = (1+1)^n = 2^n
(帕斯卡三角形第n+1列)
从值域来看X_n并不可能包含 2^(-n-1)
因此,P(X_n = x - 2^(-n-1)) = 0,所以P(X_(n+1) = x) = 2^(-n-1)
所以根据数学归纳法,P(X_n = x) = 1/2^(-n) 是成立
3. 验证
x的值域为2^n个,每一个机率为1/2^n => sum_i P(X_n = x_i) = 1 => 是pmf没错
我不确定有没有比较好的做法,这是我想到的作法....
cdf我就没想到要怎麽做了Orz
所以第二题我就没办法了Orz
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R资料整理套件系列文:
magrittr #1LhSWhpH (R_Language) https://goo.gl/72l1m9
data.table #1LhW7Tvj (R_Language) https://goo.gl/PZa6Ue
dplyr(上.下) #1LhpJCfB,#1Lhw8b-s (R_Language) https://goo.gl/I5xX9b
tidyr #1Liqls1R (R_Language) https://goo.gl/i7yzAz
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※ 编辑: celestialgod (119.14.59.166 台湾), 10/13/2019 17:48:42
※ 编辑: celestialgod (119.14.59.166 台湾), 10/13/2019 17:53:35
1F:推 andrew43: 赞赞。没想到归纳法。 10/13 18:00
2F:→ celestialgod: 高中的方法还是很好用的XD 10/13 18:14