作者warex14 (航)
看板Statistics
标题[问题] poisson process
时间Mon Mar 10 13:46:26 2014
题目：
For a Poisson process with rate λ, find P[ N(s)=k | N(t)=n ] when s<t.
我自己是这样写，但是好像不对
P[ N(s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(s)+N(t-s)-N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(t) -N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[ n -N(t-s)=k | N(t)=n ]
=P[ N(t-s)=n-k ]
我想应该是哪边观念有错吧...
然後上网看到别人写的答案是这样解的：
利用P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
所以P[ N(s)=k | N(t)=n ]*P[N(t)=n]=P[ N(t)=n | N(s)=k ]*P[N(s)=k]
移项之後
P[ N(s)=k | N(t)=n ]=P[ N(t)=n | N(s)=k ]*{P[N(s)=k]/P[N(t)=n]}
──────────
底线这项等於
P[ N(t-s)=n-k ]
他这里没有很详细但我猜过程可能是
P[ N(t)=n | N(s)=k ]=P[ N(t)-N(t-s)+N(t-s)=n | N(s)=k ]
=P[ N(s) +N(t-s)=n | N(s)=k ]
=P[ k +N(t-s)=n | N(s)=k ]
=P[ N(t-s)=n-k ]
但我就搞混了
到底为什麽 P[ N(t)=n | N(s)=k ]=P[ N(t-s)=n-k ]
而不是 P[ N(s)=k | N(t)=n ]= P[ N(t-s)=n-k ] 呢？
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◆ From: 140.112.108.38
※ 编辑: warex14 来自: 140.112.108.38 (03/10 13:47)
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※ 编辑: warex14 来自: 140.112.108.38 (03/10 16:08)
1F：推 yhliu:P[N(t)=n|N(s)=k] = P[N(t)-N(s)=n-k|N(s)=k] 03/11 09:18
2F：→ yhliu: = P[N(t)-N(s) = n-k] = P[N(t-s) = n-k] 03/11 09:18
3F：→ yhliu:中间等式是 independent increment 的结果, 最後等式是 03/11 09:19
4F：→ yhliu:constant arrival rate 及 N(0)=0 的结果. 03/11 09:20
5F：→ yhliu:而你的算式是无根据的. 03/11 09:22
6F：→ yhliu:Poisson process 的 独立增量 条件, 使得 03/11 09:32
7F：→ yhliu:P[N(t)-N(s)=n-k|N(s)=k] = P[N(t)-N(s)= n-k], 但 03/11 09:33
8F：→ yhliu:P[N(t)-N(s)=n-k|N(t)=n] ≠ P[N(t)-N(s)=n-k] 03/11 09:33
感谢！
※ 编辑: warex14 来自: 140.112.231.6 (03/13 01:12)