作者anovachen ( )
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标题[问题] 如何证明Gamma分配的完备性
时间Fri Feb 21 01:52:22 2014
节录自96交大统研考古题
f(x;θ)=θexp{-θx} ,x>=0
X1,X2 iid於此分配
S=X1+X2
证明S是完备的
节录某详解的解题步骤：
S是Gamma分配(α=2, λ=θ)
E_θ(g(S))=0, for all θ>0
→
∞
∫g(s)sexp{-θs} ds=0, for all θ>0
0
令g(s)=g_+(s) - g_-(s), 其中g_+(s)和g_-(s)非负。
↑为何可以这样假设g(s)可拆成两个函数相减？
对於任意g(s)都能这样做吗？
以下是我的解法:
假设前一步骤合理，接下来
∞ ∞
∫g_+(s)sexp{-θs} ds = ∫g_-(s)sexp{-θs} ds
0 0
因为g_+(s)s的Laplace transform等於g_-(s)s的，又s>0，
所以这样就能宣称g_+(s)=g_-(s)了？
(并可推得E(g(S))=E(0)=0)
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.238.16
※ 编辑: anovachen 来自: 111.255.238.16 (02/21 02:02)
1F：推 Yogaga:用指数族(exponential family)解决较简单 02/21 09:48
2F：推 Yogaga:也可以期望值对θ微分，因假设E_θ(g(S))=0，对0微分还是0 02/21 10:06
3F：推 Yogaga:微分後得到积分g(s)*(s^2)*exp(-θs) ds=0 02/21 10:11
4F：推 Yogaga:因为s^2>0，exp(-θs)>0，所以这个积分如果要等於0 02/21 10:13
5F：→ Yogaga:唯一的机会就是g(s)=0，for all s>0，因此得证 02/21 10:15
6F：→ yhliu:任何函数都可以表示为其 "正部" 与 "负部" 的差. 而就机率、 02/21 17:25
7F：→ yhliu:统计上的应用来说, 该函数 g 是 Borel function. 那麽, 拆解 02/21 17:26
8F：→ yhliu:出来的 g+, g- 也是 Borel function. 02/21 17:26
9F：→ yhliu:Laplace transform 的唯一决定性与 m.g.f. 的唯一决定性, 乃 02/21 17:27
10F：→ yhliu:至 ch.f., Fourier transform 的唯一决定性等, 可说都是同样 02/21 17:28
11F：→ yhliu:的东西. 02/21 17:28
12F：→ yhliu:用 "指数族" 为解题依据, 其实与用 Laplace transform 解题, 02/21 17:30
13F：→ yhliu:本质上也是差不多的, 都是利用现成的定理, 而这些当做根据的 02/21 17:31
14F：→ yhliu:定理, 其证明, 如果我没记错, 是涉及复变函数的一个定理. 02/21 17:32
谢谢!!
※ 编辑: anovachen 来自: 42.74.190.206 (02/21 23:17)