作者anovachen (囧)
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标题[问题] 指数分布参数的假设检定
时间Sun Jul 14 01:48:50 2013
1F：→ yhliu:不可以! 需另做推导...事实上即使 γ1=γ2, Cauchy 的检定也06/12 17:59
2F：→ yhliu:不是一个简单公式能解决的.06/12 18:00
3F：→ LinRungChuan:有没有哪个无母数的检定 是可以采用的~感谢06/12 22:01
4F：推 anovachen:如果是期望值存在的机率分配，在样本数很多的情况下，06/13 18:47
5F：→ anovachen:也不能用t检定吗？06/13 18:48
6F：→ anovachen:例如指数分配的参数λ之MLE=1/(x-bar)，06/13 21:02
7F：→ anovachen:如果对1-(x-bar)做假设检定，可以直接用t-test吗？06/13 21:02
8F：→ levinc:楼上问题可考虑Wald/LM/LRtest 原问题则需另行推导!06/15 10:24
之前别人问Cauchy分布的参数估计问题，
我的问题再重新念了GLRT後有些看法。
X1,X2,...,Xn iid~ Exp(β)
MLE of β=X-bar
H0:β=β_0 v.s. Ha:β≠β_0 之LRT的拒绝域：
L(β_0)/L(x-bar)
=[(β_0/x-bar)^-n]exp(-Σx_i/β_0 + Σx_i/x-bar) <= k
=> [(x-bar/β_0)^n]exp(-n*x-bar/β_0 + n) <= k
=> [(x-bar/β_0)^n]exp(-n*x-bar/β_0) <= k*exp(-n)=k'
令w=x-bar/β_0
=> (w^n)exp(-nw) <= k'
在此将(w^n)exp(-nw)视为Gamma(α=n+1, β=1/n)的pdf的核心
也就是说，fw(w)=(w^n)exp(-nw)/k'
=> w=x-bar/β_0 <= c1 or w=x-bar/β_0 >= c2
当w<= c1 或 >=c2时，fw(w)<k'
因为Σx_i ~ Gamma(α=n, β)
在虚无假设成立之下，
2Σx_i/β_0 = 2nX-bar/β_0 ~ Gamma(α=2n/2,2) ~ Chi-square(υ=2n)
所以LRT的拒绝域为：
{2nX-bar/β_0 <=Chi-square_1-α/2 (2n), 2nX-bar/β_0 >=Chi-square_α/2 (2n)}
但是在自由度趋近无限大的情况下，
当X~Chi-square(k)
则(X-k)/√(2k) ~ N(0,1)
所以能否将LRT的拒绝域改成下式呢？
{[(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k) <=Z_1-α/2, [(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k) >=Z_α/2},
当2n -> ∞
此时应该也能用t检定吧？
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.24.236
※ 编辑: anovachen 来自: 111.255.24.236 (07/14 01:52)
9F：→ levinc:我指的是你说的第一句话的情况"如果是期望值存在的机率分 07/14 12:51
10F：→ levinc:配，在样本数很多的情况下"...t应该不是asym. test吧？ 07/14 12:56
11F：→ levinc:不过好像我误会你的意思，若你是指使用"t-统计量"是可以 07/14 13:01
12F：→ levinc:用在上面说明的例子... 07/14 13:07
13F：→ levinc:原本以为你是指test两个分配的期望值参数是否相等... 07/14 13:09
14F：→ levinc: 指数 07/14 13:14
不过这样做检定的枢纽量变成[(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k)，
不是X-bar。(跟原本想的不同)
另外，有很多常用机率分配的MLE都跟X-bar有关，
这些不知道能否仿照类似方法推导样本数趋近无限大时的检定方式？
※ 编辑: anovachen 来自: 111.255.28.193 (07/15 10:06)