作者warex14 (航)
看板Statistics
标题[问题] 证明，有关样本变异数
时间Sun Mar 3 01:58:41 2013
条件：X_bar=(X1+X2+...+Xn)/n 且Xi为iid，期望值为μ，variance为σ^2
我知道E(X_bar)=μ
也知道E(X^2)=σ^2+μ^2
今天要证var(X_bar)=σ^2/n
我初步的想法就是把它化成
E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2 来算
不过要如何求 E(X_bar^2)？
我先讲一个算出来应该是错的的算法
E(X_bar^2)可写成 (1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]
(1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]
=(1/n^2)*E[(X1^2+X2^2+...+Xn^2)]
↑(我想应该是错在这步，虽然我想用iid的特性来说明E(Xi*Xj)=0，但是这样用不行吧？)
=(1/n^2)*E[X^2]*n
=E[X^2]/n
= (σ^2+μ^2)/n
不过这样带回去E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2=var(X_bar)的式子就会是错的
希望可以知道错在哪里
以及正确的解法
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.212.81
※ 编辑: warex14 来自: 140.114.212.81 (03/03 01:59)
1F：推 goshfju:不太建议 看到变异数 就换成 E(X^2)-(E(X))^2 的形式 03/03 02:23
2F：→ goshfju:变异数本身有变异数的性质 Var(aX) = a^2 Var(X) 03/03 02:24
3F：→ goshfju:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) 用这两个性质会快许多 03/03 02:24
4F：→ goshfju:Var(Xbar)=Var((X1+...+Xn)/n)=Var(X1+...+Xn)/n^2 03/03 02:25
5F：→ goshfju:其中 Var(X1+...+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+ Covariances 03/03 02:26
6F：→ goshfju:接下来你应该OK了~ 03/03 02:26
谢谢goshfju的建议，因为题目出成
var(X_bar)=E{[X_bar-E(X)]^2}=...=σ^2/n
(第一个等号应该算hint吧？)
所以我就把他先拆解，之後就发现不会了...(因为以前证的都是用g大提供的方法)
7F：→ yangchichuan:因为独立，所以E(Xi*Xj)=E(Xi)*E(Xj)=μ^2 03/03 12:40
感谢！我在Hogg的数统上看到了！(糟糕都还给老师了)
再次谢谢
※ 编辑: warex14 来自: 140.114.212.81 (03/03 21:37)
※ 编辑: warex14 来自: 140.114.212.81 (03/03 21:52)