作者Prozac (没事不要乱吃)
站内Statistics
标题Re: [问题] 交互作用 负负相乘的问题
时间Thu Oct 7 21:42:17 2010
可讨论的点很多
不过既然原po提到用中心化处理共线性
那我就以这点分享一点看法
我不认为中心化主要目的是处理共线性的问题
一般而言
共线性来自於回归系数的估计式会受到独变数之间的相关影响
公式请详见回归书或是一般统计书
对於加入的连乘积项X1X2可能会造成共线性的问题
改为中心化的C1C2可能可以处理这问题
但也不是屡试不爽的好方法
刚刚随便弄了个例子就发现中心化反而相关上升
我会从交互作用的意义来看中心化的好处
中心化(centering)
最简单的想法就像计算共变数公式要去中心一样
减掉平均数是为了控制两变数在同一个起始点上
看两变数之间的大小关系是否有所相关
有的话共变程度大 没有的话共变程度小 > 也可以套至相关
那为何处理调节变项要去中心化？
我先来谈调节变项的意义
简单而言，调节变项是捕捉交互作用的效果
交互作用的效果可以称为某独变项影响依变项的效果
受到另一个读变项的影响的效果
很饶口对吧？
那简单一点来讲
交互作用就是非线性的效果的一种
从定义把数学式子写一写就很简单了
假设X1的对Y的预测能力（或是说效果影响等等都可以）受到X2的大小影响
也就是X2的大小 会影响到X1影响Y的效果或是预测能力
以上可以写成
Y = a0 + (a1 + a2X2)X1 + a3X2
= a0 + a1X1 + a3X2 + a1a2X1X2
= B0 + B1X1 + B2X2 +B3X1X2
在数学上X1X2就是一个非线性的效果
我们可以说因为存在交互作用
因此单就线性模型Y = B0 + B1X1 + B2X2 不足够
需要在加上X1X2的乘积项捕捉交互作用的效果
那如果不作中心化会怎样？
此时B3会很难解释！！
X1X2上升一单位
在没有中心化处理下意义完全不明！
因为X1 X2 可能一个是身高 一个是5点量表
他们的乘积上升一单位？嗯？没人知道那是啥鬼
但是中心化後
X1X2上升一单为的意义就是 两者往共同方向移动了一单位
这就会让研究者方便许多
那既然如此我就来在推导一下
其实中心化就只是针对X1X2的乘积项
至於X1 和 X2 其实是可以不需要中心化的
上一篇提到的那本回归参考书（A先生＆W先生）也有提到这点
令C1为中心化过的X1 M1为X1的平均数
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3C1C2
= b0 + b1C1 + b2C2 + b3C1C2 + b1M1 + b2M2
= b0'+ b1C1 + b2C2 + b3C1C2
也就是说 不管X1放的是原始资料还是中心化过的C1
这都只影响到截距项的估计
对其他系数不会任何影响～
详细推导
请参考书籍
以上只是一点浅见
--
额外话
每次看到有人用工读生时薪在徵统计分析帮手
都觉得囧
或许某些老师觉得统计就是点一点写写语法而已
没啥了不起
就把资料丢进去把结果给他 然後他就可以写paper 科科
※ 引述《coldwind0912 (随风而逝~)》之铭言：
: 我是用一个比较简单的方法来举例
: 我在举一个例子
: x1 x2 x1x2
: case1 6 9 54
: case2 2 3 6
: 假设x1 mean=4 x2 mean=6
: 所以中心化之後：
: x1' x2' x1'x2'
: case1 2 3 6
: case2 -2 -3 6
: 请问c大这样一样是合理的吗？谢谢？
: 我还是不太懂你的意思:)
: 从你这个例子来说
: 当我们假定 X1 X2 都是一个 0~10 的分数 正代表满意 负代表不满意
: ※(其实负分 根本不存在因为尺度是0~10 不会有负)
: 在csae1的情况 当X1在中心化前是6 中心化後是2
: 对於X1的意义而言 不论是6还是2 都是代表满意
: 可是 如果太执着数字大小 会误认为 在中心化後 满意度降低了(这是错的观念)
: 实际上 中心化前的6分 和 中心化後的2分 是一样的
: 因为尺度已经从 0~10 变成 -4 ~ 6 (Mean=4，同减)
: 但是 首先 会有问题的是X1在case2的时候
: 在case2的情况 X1在中心化前是2 中心化後是-2
: 但是 对於X1的意义而言 不论是2还是-2 一样都还是代表满意(请见前述※处)
: 实际上 中心化前的2分 和 中心化後的-2分 是一样的
: 因为尺度已经从 0~10 变成 -4 ~ 6 (Mean=4，同减)
: 最後 就是交互作用项的问题
: 基本上 这也是这个问题当中 最复杂的一点
: 因为 交互作用的说明 不是直接以数字的正负或大小 就能理解的
: 以CASE1 来说 你一定会问 中心化前的54 中心化後的6 为什麽会变化那麽多?
: 以CASE2 来说 你就是问 中心化前的6 和 中心化後 负负得正的6 是一样的吗?
: 其实 这里我也很难以一个中文说法来表达
: 不过 基本上 对於中心化的议题 大部份都是参考Aiken&West(1991)的paper
: 或许这麽说好了(也许会有点言不及意 这是我个人的解读)
: 不论是case1的54和6 或case2的6和6
: 基本上 它都是「反应X1和X2同时在Y上 高低程度的共同比例效果」
: 只是 在中心化前 会受平均数的影响
: 但是 就这个例子而言
: case1的x1和x2为6,9 case2为2,3 其实这比例效果是一样的(中心化後都为6)
: 所以 回到问题 中心化的操作 或许很简单 但是 中心化的意义 很复杂
: 有时 不要用正负、大小 就直接思考判断
: 在交互作用的议题里 这种直观式的判断 往往都是错的
: 也希望有板上其他高手 来进一步说明或一讨论这个中心化的问题吧 我的能力也有限
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.224.49.80
1F：推 coldwind0912:推导详细 先给推 尤其是"交互作用是非线性关系" 10/07 21:52
2F：→ coldwind0912:只是 对於前述 中心化与共线性无关之观点 尚加保留 10/07 21:53
3F：→ coldwind0912:我个人不敢这麽斩钉截铁 只是我的确有听闻这个说法 10/07 21:53
4F：→ coldwind0912:但就当前在学术paper的呈现而言 10/07 21:54
5F：→ coldwind0912:中心化 确实是回应共线性争议的权宜之计 10/07 21:55
6F：→ Prozac:嗯 如果是就相乘项和其他变数共线性的问题 去中心化的确是 10/07 21:59
7F：→ Prozac:我想我前面是指其他变数的共线性问题 不过这样写实在不好 10/07 22:00
8F：→ Prozac:感谢你的提醒！ 10/07 22:01
9F：推 wlsherica:推~ 也推最後一段 10/07 22:30
10F：→ Prozac:楼上似乎也是常在pt板用统计当关键字搜寻的 哈哈 10/07 22:42
11F：推 wlsherica:XD 观赏一下现在的价位嘛 10/07 22:46
12F：→ bmka:你中间的说法似乎把centering跟standardization搞混了 10/08 07:16
13F：→ chenyutn:是说会sem时薪一百的那篇文吗 XD 10/08 08:34
14F：→ coldwind0912:原来大家都在讨论 後站大学那篇 会SEM时薪100的文 XD 10/08 10:35
15F：→ coldwind0912:回b大 对截距而言 中心化也是标准化的其中一种方法吧 10/08 10:38
16F：→ bmka:?? 10/08 10:47
17F：→ bmka:你这句话逻辑怪怪的 10/08 10:48
18F：→ bmka:Are you sure what you are talking about? 10/08 10:50
19F：推 evilove:我也有搞混，为什麽减去平均数能称为标准化？ 10/08 10:57
20F：→ coldwind0912:对截距而言... 10/08 11:31
21F：→ Prozac:中间哪边的说法？ B大可以讲详细点吗？ 10/08 11:43
22F：→ Prozac:标准化包涵中心化的效果 不过後者并没有调整尺度 10/08 12:07
23F：→ Prozac:不知道B大是不是指起跑点那句话 10/08 12:09
24F：→ coldwind0912:标准化&中心化都是让截距归零 但标准化还去除了单位 10/08 12:15
25F：→ bmka:"X1X2上升一单位 在没有中心化处理下意义完全不明！" 10/08 19:45
26F：→ bmka:这段话开始,你指的应是标准化,而不是单纯的中心化 10/08 19:45
27F：→ bmka:"标准化&中心化都是让截距归零"..没这种说法吧... 10/08 19:49
28F：→ bmka:c大, 所以中心化不是标准化 10/08 19:51
29F：→ Prozac:X1X2上升一单位 和有没有标准化不影响吧 1单位就是0变1 10/08 20:01
30F：→ Prozac:不过两者尺度差很多时 乘积也实在不好解释 10/08 20:09
31F：→ bmka:如果你不是在谈标准化,何必举单位不同的例子? 10/08 20:26
32F：→ bmka:还有"两者往共同方向移动了一单位"这句话需要再解释 10/08 20:29
33F：→ bmka:否则会有误解 10/08 20:30
34F：→ Prozac:嗯 我想不是DUMMY VARIBLE 相乘项系数都不是很好解释 10/09 00:07
35F：→ Prozac:感谢B大的指教 刚作了些小模拟 要解释相乘项实在不容易 10/09 00:09
36F：→ coldwind0912:我觉得 P大的那段说明并不会令人搞混呀.... 10/09 00:09
37F：→ coldwind0912:对於单位不同的变项 使用标准化做资料调整固然没错 10/09 00:10
38F：→ coldwind0912:但是 依照P大例子 其实中心化就足以进行解释 10/09 00:12
39F：→ coldwind0912:我个人是觉得 不必使用到标准化 10/09 00:12
40F：→ coldwind0912:只是 标准化涉及去除单位 有时 失去单位未必利於解释 10/09 00:14
41F：→ coldwind0912:至於 有关两种方法都涉及"让截距归零"的说法... 10/09 00:15
42F：→ coldwind0912:基本上 会在此讨论中的人 都明白中心化不等於标准化 10/09 00:16
43F：→ coldwind0912:但是 标准化的过程 一定经过中心化 这应该不需要争了 10/09 00:17
44F：→ coldwind0912:但如同前述 标准化去除了单位 未必有利於资料的解释 10/09 00:19
45F：→ coldwind0912:而且 对於某些测量尺度而言 截距本身就难以解释 10/09 00:20
46F：→ coldwind0912:如果在中心化或标准化的选择上 更应该谨慎选择.... 10/09 00:21
既然大家都聊这麽高兴
我就来让所谓中心化会让研究者更好解释这件事具象化一点
假设样本数20
X1为满意度五点量表（平均数3.15）
X2为身高（平均数164.68）
甲的身高是136.8 满意度是1
乙的身高是136.4 满意度是5
X1X2（甲） 为 136.8
X1X2（乙） 为 682.1
中心化
C1C2（甲） 为 -52.29
C1C2（乙） 为 59.95
两者都可以补抓一个事实
当身高越高（低）满意度约高（低）相乘积越大
而反之身高越高（低）满意度越低（高）则会越小
但是中心化可以让这件事情变得更极端
从资料来看甲乙的X1X2只有高低之分（皆为正数）
但C1C2却是一正一负
事实上X1X2的资料无法给予太多资讯
因此再解释上
我们可以很确定C1C2代表的是一种"共变"的指标
X1X2则没有办法
其实也不用讲这麽复杂想想共变数的定义就知道了（汗）
附上资料让各位参考看看
X1 X2 C1 C2 X1X2 C1C2
[1,] 4 181.29 0.85 16.606 725.16 14.1151
[2,] 4 182.36 0.85 17.676 729.44 15.0246
[3,] 5 176.17 1.85 11.486 880.85 21.2491
[4,] 4 145.14 0.85 -19.544 580.56 -16.6124
[5,] 1 163.05 -2.15 -1.634 163.05 3.5131
[6,] 3 176.93 -0.15 12.246 530.79 -1.8369
[7,] 3 157.06 -0.15 -7.624 471.18 1.1436
[8,] 4 131.96 0.85 -32.724 527.84 -27.8154
[9,] 5 196.84 1.85 32.156 984.20 59.4886
[10,] 1 196.80 -2.15 32.116 196.80 -69.0494
[11,] 1 163.98 -2.15 -0.704 163.98 1.5136
[12,] 4 181.44 0.85 16.756 725.76 14.2426
[13,] 3 168.90 -0.15 4.216 506.70 -0.6324
[14,] 4 181.92 0.85 17.236 727.68 14.6506
[15,] 5 136.42 1.85 -28.264 682.10 -52.2884
[16,] 4 144.32 0.85 -20.364 577.28 -17.3094
[17,] 3 138.78 -0.15 -25.904 416.34 3.8856
[18,] 2 144.94 -1.15 -19.744 289.88 22.7056
[19,] 2 188.58 -1.15 23.896 377.16 -27.4804
[20,] 1 136.80 -2.15 -27.884 136.80 59.9506
看看资料应该就很明白我想表达的意含了
我想这就是我认为中心化会比较好解释的理由
至於标准化那件事
X1X2有无标准化都只会影响系数估计值
对R SQUARE和系数检定都不会有影响
我觉得这就取决於研究者的习惯即可
以上是拙劣的铺陈 感谢耐心看完的板友
※ 编辑: Prozac 来自: 61.224.49.80 (10/09 01:00)
47F：推 coldwind0912:P大 辛苦了.... 10/09 01:08
48F：→ Prozac:我一定是不想写作业才这麽认真回文 唉唉 10/09 01:09
49F：→ coldwind0912:其实 从sample 9.10.15.20 的比较就可以明白原理 XD 10/09 01:10
50F：→ Prozac:反正也只是复制贴上而已哈哈 冷风大我要出门去 有空再聊啦 10/09 01:12
51F：→ bmka:看不太懂你想表达什麽...59.95 vs -52.29比682.1 vs. 136.8 10/09 03:05
52F：→ bmka:极端? 极端在哪里?只是因为有负号嘛..极端好像不该是这样定义 10/09 03:06
53F：→ bmka:为什麽C1C2代表的是一种"共变"的指标,X1X2则没有办法? 10/09 03:07
54F：→ bmka:没有办法是什麽意思? 10/09 03:08
55F：→ Prozac:跟正负号无关 这跟共变数要减平均数的道理一样 10/09 03:11
56F：→ bmka:你应该拿Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3C1C2跟 10/09 03:11
57F：→ bmka:Y = a0 + a1X1 + a2X2 +a3X1X2来比较然後进行你的论述 10/09 03:12
58F：→ bmka:拿它来跟Y = d0 + d1C1 + d2C2 + d3C1C2比没什麽意思 10/09 03:14
59F：→ bmka:还有,你的regression model都写错了(包括我上面剪贴/编辑过 10/09 03:15
60F：→ Prozac:如果B大看一下所附模拟资料 或许能抓到我的意思 10/09 03:15
61F：→ bmka:的都是不正确的) 10/09 03:15
62F：→ bmka:P大, 不是要故意找麻烦啦.不过如果这是篇报告的话, 10/09 03:18
63F：→ bmka:会被我改得满江红 10/09 03:18
64F：→ Prozac:资料点20 X1和X2同时很小 C1C2能反应出这共变程 X1X2则否 10/09 03:19
65F：→ bmka:写文章不能用一堆"形容词"却给不出定义来 10/09 03:20
66F：→ Prozac:这不是报告 只是闲聊 但也很高兴你的指教 10/09 03:21
67F：→ bmka:X1, X2同时很小但是X1*X2看不出很小??? = = 10/09 03:21
68F：→ Prozac:如果你指的写错是指Y应该是Y hat 那我承认这是很粗略的写法 10/09 03:22
69F：→ bmka:这不是"简单疏失"而已(笑) 10/09 03:24
70F：→ Prozac:X1X2同时小 X1X2当然小 = = 但是C1C2则的值却会很大 10/09 03:24
71F：→ Prozac:所以我说C1C2反应共变的效果 X1X2则否(除非平均数本来就零) 10/09 03:26
72F：→ bmka:请定义什麽叫反应共变的效果 10/09 03:27
73F：推 coldwind0912:以样本9和样本20作参照 10/09 08:57
74F：→ coldwind0912:当X1,X2皆大时 X1X2极大(984.20) 但C1C2为59.49 10/09 08:57
75F：→ coldwind0912:X1,X2皆小时 X1X2极小(136.80) 但C1C2仍为59.95 10/09 08:58
76F：→ coldwind0912:由此可见 当X1,X2反应趋势一致(皆大or皆小)时 10/09 08:58
77F：→ coldwind0912:C1C2的effect是差不多的 但X1X2是不一样的 10/09 08:59
78F：→ coldwind0912:但加入样本10和样本15作参照时更可以发现 10/09 08:59
79F：→ coldwind0912:当X1,X2呈现一大一小时 X1X2并不稳定 10/09 09:00
80F：→ coldwind0912:分别为196.80、682.10 10/09 09:00
81F：→ coldwind0912:但两者在C1C2时却也相对接近-69.05、-52.29 10/09 09:00
82F：→ coldwind0912:或许这就是P大所谓"反应共变的效果" 10/09 09:01
83F：→ coldwind0912:如同我前述的用词 "反应趋势一致" 10/09 09:01
84F：→ coldwind0912:但这个现象的词 在中文里或许尚未有一致的用词 10/09 09:01
85F：→ coldwind0912:若b大对於这个现象有精准的用词与定义 愿闻其详 10/09 09:01
86F：→ coldwind0912:题外话一点 这应该是大家的闲聊、讨论或交流 10/09 09:03
87F：→ coldwind0912:不知道 为何b大要以作业批改的心态视之 10/09 09:04
88F：→ coldwind0912:毕竟 我觉得不论是我或P大 post这些想法或为板友释疑 10/09 09:07
89F：→ coldwind0912:应该都不是在交作业给b大或众板友批阅的吧!? 10/09 09:07
90F：→ bmka:不严谨的说法不能讨论批评吗? 闲聊出门左转有chat版 10/09 09:23
91F：→ coldwind0912:或许 指正、批评、挑语病 三者需要有个明确的定义 XD 10/09 11:08
我觉得b大提的点跟对符号跟用字的精确，
都是我在描述事情的缺点，
所以我非常高兴b大能有所指教！
不过我昨天凌晨实在有点不行了
共变的程度这不是很精确的用词
我的原意只是希望板友能概念上的抓到我想讲的东西
所以用了一些形容词和词汇等等
我试着看看能不能尽量简截的把共变的程度作一个定义：
「定义为两变数减去个别期望值的乘积，
正值表示两变数大於或小於个别期望值，
负值表示有一变数大於其期望值及一变数小於其期望值，
此乘积的期望值等同於两变数的共变异数(Covariance)。」
意义上，
楼上C大的举例其实就很清楚明了了。
操作上，
将此乘积放入回归模型当作独变项，其回归系数的检定结果，
能帮助研究者了解，
在给定资料下，研究者认为存在交互作用，是否有统计上的支持。
不过我自己的心得是，很多人对符号并不敏感
需要多用举例或是一些词汇来说明会比较易懂
当然如果我又开始自嗨而用字乱七八糟不严谨时
希望往後b大也能不吝提醒！
※ 编辑: Prozac 来自: 114.43.117.75 (10/09 13:24)
92F：推 evilove:b大在我的推文建议"把 x1*x2当成另一个变数z, 对新变数做 10/09 14:22
93F：→ evilove:中心化"如果用这个方法模拟P大的资料，结果似乎不一样。 10/09 14:24
94F：→ evilove:(case9, case20) 会变成 (464.5225, -382.878) ？ 10/09 14:26
95F：推 coldwind0912:以我的经验来说 P大的做法PAPER引用很普遍 10/09 14:30
96F：→ coldwind0912:b大的作法 我倒是第一次听到 不知道引述自何处 10/09 14:31
97F：→ coldwind0912:而且 我以过去自己一篇已发表的paper数据进行实作 10/09 14:42
98F：→ coldwind0912:原本的模式我就是使用 X1、X2、C1C2 → Y 10/09 14:43
99F：→ coldwind0912:但改以 X1,X2,Z(centering後) → Y 结果估计值都不同 10/09 14:45
100F：→ bmka:y大, 那你最好检查一下你的程式 10/09 19:44
101F：→ bmka:sorry, 是 c大 10/09 19:45
102F：→ bmka:BTW, 我的建议是 X1,X2,X1*X2各自做centering,不是只有X1X2做 10/09 19:47
103F：→ bmka:其实想法很简单, 就是利用centering去处理collinearity(笑) 10/09 19:55
104F：→ bmka:(假装不知道它们之间的关系),不过,这只能避免一点计算上的 10/09 20:24
105F：→ bmka:小小问题...好处是除了截距项外其他系数不会变 10/09 20:31
106F：→ bmka:所以,我并没有回答e大问的"如何处理负值"的问题 XD 10/09 20:33
107F：→ bmka:对C1C2比X1X2在变数本身的解释上有意义的看法,我不反对 10/09 20:53
108F：→ bmka:但是用C1C2的目的最主要还是想解决collinearity的问题 10/09 20:58
109F：→ bmka:Interaction term不能单独解释,要连main effects一起解释 10/09 21:02
110F：→ bmka:才会完整 10/09 21:03
111F：→ bmka:所以e大举的例子里2*3=6,-2*-3=6,单看interaction的值似乎 10/09 21:26
112F：→ bmka:不合理,但是如果再考虑(2, 3), (-2,-3)的不同就不会太奇怪了 10/09 21:27
113F：→ bmka:可以用X1={-1,1}, X2={-1,1},画个2X2 table来看就清楚了 10/09 21:28
114F：推 bluechuchy:基本上，去中心化的用意在还原真实现象中的反应一致性 10/12 18:19
115F：→ bluechuchy:趋势，只是将数字上所膨胀的「虚假」还原真实「程度」 10/12 18:21
116F：→ bluechuchy:b大还是去把Aiken&West(1991)抓出来看比较实际 10/12 18:23
117F：→ bluechuchy:这就是为什麽2*3=6,-2*-3=6 在程度意义上为「相同」 10/12 18:35
118F：→ bluechuchy:这不就是运用GLM方法上大家所最乐见的事吗? 10/12 18:36
119F：→ bluechuchy:(2, 3)→两个都高，(-2,-3)→两个都低 10/12 18:38
120F：→ bluechuchy:所以，两个相乘後皆为6，其实他们的趋势意义上是相同的 10/12 18:40
121F：→ bluechuchy:不知道这样的解释是否够白话? 10/12 18:42
122F：→ bmka:不如去看看 Echambadi and Hess (2007).Mean-Centering Does 10/13 07:39
123F：→ bmka:Alleviate Collinearity Problems in Moderated Multiple 10/13 07:40
124F：→ bmka:Regression Models. 10/13 07:40
125F：→ bmka:中心化後的design matrix其实还是原来design matrix的 10/13 07:42
126F：→ bmka:linear transformation. 所以covariate vector space所展开 10/13 07:42
127F：→ bmka:的空间是一样的,也就是说fitted model根本都是一样的 10/13 07:43
128F：→ bmka:做中心化只是让新的design matrix 的cross-prodct在求矩阵 10/13 07:44
129F：→ bmka:的反距阵的数值计算比较稳定(当cross-product matrix接近 10/13 07:45
130F：→ bmka:singular的情况),也就是说只有在共线性非常强的时候才有可能 10/13 07:47
131F：→ bmka:看到其效果,所以中心化其实纯粹是解决数值运算问题 10/13 07:48
132F：→ bmka:而不是fit了一个新的model... 10/13 07:49
133F：→ bmka:请不要直接比较中心化(不管哪一种方式)跟没有中心化的 10/13 07:55
134F：→ bmka:regression table,然後说这两个方法得到不一样的结果 10/13 07:56
135F：→ bmka:要记得,展开整理过再比,那麽你会发现不论是系数或是SE的估计 10/13 07:57
136F：→ bmka:都是一模一样(除了在很极端的case碰到求反矩阵的数值问题) 10/13 08:01
137F：→ bmka:至於(X1-m1)*(X2-m2)比X1*X2解释上是否比较有意义 10/13 08:10
138F：→ bmka:我没意见(也从没反对过) 10/13 08:11
139F：→ bmka:上面指的是单独一项变数来看...但最终要解释interaction 10/13 08:20
140F：→ bmka:还是必须要把X1, X2纳进来一起解释 10/13 08:21
141F：→ ADORIAN:上面最後两句话是讨论串的重点啦~ 直接去解释 X1*X2 或 10/13 14:11
142F：→ ADORIAN:(X1-m1)*(X2-m2)的数值都是无意义的. 10/13 14:12
143F：推 evilove:b大的title少了一个字Mean-Centering Does Not Alleviate 10/13 14:33
144F：→ evilove:谢谢各位给予建议的朋友们，现在观念清楚多了^___^ 10/13 14:34
145F：→ bmka:oops, sorry....少一个NOT差很多.... XD 10/13 19:49
146F：→ Prozac:水喔 文献终於来了 我会找来看看 谢啦B大 10/14 01:19
147F：→ Prozac:哈哈 PAPER里的报表有很可爱的解说箭头 10/14 01:21