作者betray911015 (回头太难)
看板Statistics
标题[问题] covex function and degenerate r.v.
时间Mon Nov 30 11:06:41 2009
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Jensen Inequality
1. Let X be a random variable with finite mean E(X),
and let g() be a convex function, then E[g(x)]≧g[E(X)]
2 If g() is strictly convex function,
X is not a degenerate r.v. E(X) <∞ ,then E[g(x)]>g[E(X)]
我的想法与疑问:
以上两个定义是我们老师给的
我对第一个比较没有问题
我可利用泰勒展开式去证明,如下
对 x=μ作展开
令 g(x) = g(x) +g'(x)(x-μ)+g''(x)(x-μ)^2 +.......
----------- --------------
1! 2!
左右两式取期望值
E[g(x)] = g(μ) +g'(μ)(E(x)-μ)+g''(μ) E(x-μ)^2 +....
~~~~~~~~~
= 0
=> E[g(x)] ≧ g(μ)
对於第二个的定义的"退化r.v."是指变异数等於零的时候吗？？
那是不是求算出他的变异数不等於零，而且他的期望值又有限的话
是不是就代表为严格凸函数，也就会成立E[g(x)]>g[E(x)]
我这样的说法对吗？？
那像这题该怎麽去判别：
3
假设 g(x) = ∣x∣
该怎麽判别是否为严格凸函数
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