※ 引述《easonya (newman)》之铭言： : 3.以下这题是自己想到的题目　不知道合不合逻辑？是否有解？ : 　某一家庭想要有小孩，他们会一直生小孩直到他有们有「连续」三个相同性别的小孩 : 　出生为止。假设生男或生女的机率相等。令Ｘ为这家庭小孩的总数，试求Ｘ的机率分配 考虑一个markov chain包含3个状态 状态1=连续一个相同性别的小孩 状态2=连续两个相同性别的小孩 状态3=连续三个相同性别的小孩 1/2 1/2 0 他的transition matrix为 A = [ 1/2 0 0 ] 0 1/2 1 其中 Aij表示从状态i到状态j的机率，举例来说从状态一(连续一个相同性别的小孩) 到状态一的机率是1/2，到状态二(连续两个相同性别的小孩)的机率是1/2，到状态三 (连续三个相同性别的小孩)的机率是0 这里我们假设状态三是一个absorbing state，也就是一旦达到状态三，这个markov chain就会一直停留在状态三中。 y1 设Yi = [ y2 ] ，其中y1表示在生完i个小孩之後处在连续生出一个同性别小孩这个状态 y3 的机率，y2 y3为另外两个状态的机率 1 考虑Y1=[ 0 ] ， ie生完一个小孩的时候一定在状态一，则 0 1/2 Y2 = AY1 =[ 1/2 ] ie 生完两个小孩的时候各有1/2的机会在状态 0 一或二 1/2 Y3 = AY2 =[ 1/4 ] ie 生完三个小孩之後有1/2的机率在状态一，各1/4的机率在状态二 1/4 或三 3/8 Y4 = AY3 =[ 1/4 ] ie 生完四个小孩之後有3/8的机率在状态三，也就是说有3/8的机率 3/8 已经连续生出三个相同性别的小孩。 利用生四个小孩的穷举法可以看出，这中间包含了1/4是一开始连续生出三个同性别的 小孩，1/8 (= 3/8 - 1/4)是生到第四次才成功的连续生出三个同性别的小孩 (这是由於我们设定状态三是absorbing state的关系) 一般式可以表示如下： n-1 n-1 Yn = A Y1，其中A 表示 A 自乘n-1次 -1 -1 由於A可以对角化，存在P,B使得 A = P BP，其中P 为P的inverse，B为一个对角矩阵， 对角线为A的eigenvalue，而P的每一个column为相对应的eigenvector -1 n-1 n-1 则 Yn 可以修改成 Yn = P B PY1 (因为B是对角矩阵，所以B 很好算) 令X表示家庭小孩的总数，则X的机率分布为 P(X=1) = 0 P(X=x) = Yx[3]-Y(x-1)[3] for x>=2 ，其中Yn[3]表示Yn的第三个 row的值 以上是我的想法，如果有错还请告知。:) --- 我有试着算过，其实算出来虽然有点丑但还可以接受，不过要打出来就累人了，所以就 留给有兴趣的人自己算吧。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.109.40.59 ※ 编辑: west1996 来自: 140.109.40.59 (08/21 16:53)