作者b218h (Gordon Mercer)
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标题Re: [问题] Stochastic Dominance
时间Sun Feb 8 14:38:05 2009
This is not true unless we require m(‧) is nonnegative.
A counterexample is as follows:
Let ╭ 0, x≦0
│
X~F_1(x)＝┤x^(2/3) 0≦x≦1
│
╰ 1 x＞1
╭ 0, y<1/3
│
Y~F_2(y)＝┤(3y－1)/2 1/3≦y≦1
│
╰ 1, y＞1
m(t)＝t－1, increasing, negative on (0,1)
Then
－12/20＝E[m(X)]＞E[m(Y)]＝－15/20
※ 引述《Rubyfish (过去的已不再重要)》之铭言：
: 你先把 E[m(X)] 用积分的形式写出来
: 然後再表示成分部积分的样子
: 相同的做法对於 E[m(Y)] 也是
: 然後 E[m(X)] - E[m(Y)]
: 你会发现分部积分的前面那项 两者是相同的!!
: 於是就比较後面那项
: 你就会得到 积分 m'(t) (Fy - Fx) dt
: 因为 P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: 所以 (Fy - Fx) <= 0
: 所以 积分 m'(t) (Fy - Fx) dt <= 0
: E[m(X)] - E[m(y)] <= 0
: ※ 引述《b218h (Gordon Mercer)》之铭言：
: : Let X,Y be two random variables with the following properties:
: : For all c in |R,
: : P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: : Let m(‧) be a monotone increasing function. Show that
: : E[m(X)]≦E[m(Y)]
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◆ From: 154.20.158.117
1F：→ yhliu:检查一下你的计算! m(x)=x-1 与 m(x)=x 的结果不会矛盾. 02/08 17:17
2F：→ b218h:阿 算错了... 02/09 15:14
3F：→ b218h:ok 我没问题了 :-) 02/09 15:18
4F：→ b218h:感谢原Po 02/09 15:18
5F：推 lin15:原Po不就b218h XD 02/09 16:13
6F：→ b218h:绿色那篇啦^^ 02/10 04:04