作者ashugh (hugh)
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标题[问题]关於moment-generating function
时间Thu Jan 3 21:22:16 2008
wackerly书上有提到一段说
假设Y1 Y2独立 U=Y1+Y2
则Mu(t)=My1(t)*My2(t) 注:M表moment generating function
我的疑问是这个性质是否可逆？
意即若Mu(t)=My1(t)*My2(t) 其中U=Y1+Y2
可否说Y1与Y2独立呢？
我是在作wackerly习题5.111时想到的
题目是问 若Y1 Y2独立且各为normal u1 u2 variance相同
则试证U1=Y1+Y2与U2=Y1-Y2为独立且为二元常态
独立我是想到用moment来证......但是不确定上述性质是否可逆?!
２元常态我就没法子了
请有能者帮忙解答一下吧！
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◆ From: 140.119.204.48
1F：推 dick0631:不会相等!独立和不相关是不同的。try COV(x,y)=0 01/03 23:27
2F：→ ashugh:不会相等?是指不可逆吗? 另外,就算cov=0,要怎麽证明独立呢 01/03 23:51
3F：→ ashugh:除非先证出2元常态~不然没办法光cov=0就算独立不是吗? 01/03 23:52
4F：→ ashugh:算出来了~用jacobian先弄出2元常态~再用cov=0证明独立! 01/04 00:28
5F：推 qhair:先算出f(u,v)，再看能不能把f(u,v)拆成g(u)*h(v) 01/04 13:18
6F：→ qhair:可以拆（找的到g跟h）就是独立啦... 01/04 13:20
7F：→ ashugh:可以拆啊~不过光算出2元常态就蛮累了~拆开不如cov=0容易 01/04 14:09
8F：→ ashugh:cov(U1,U2)=EU1U2-EU1EU2=EY1^2-EY2^2-(EY1)^2+(EY2)^2=0 01/04 14:12
9F：推 dick0631:我只是说不可逆。若独立E(XY)=E(X)E(Y)，所以COV(X,Y)=0 01/04 16:20
10F：→ dick0631:反过来E(XY)=E(X)E(Y)，并无法证明X,Y独立。 01/04 16:21
11F：→ dick0631:二元常态的CASE，比较简单的作法就是证COV(X,Y)=0 01/04 16:22
12F：→ dick0631:证完之後，把结果代入f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y 01/04 16:23
13F：→ dick0631:考试最好用变数转换证明f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y 01/04 16:25
14F：→ ashugh:dick大的方法应该是适用在已知2元常态的情况下吧?! 01/04 22:20
15F：→ ashugh:所以到头来还是要先弄出2元常态~不然甚麽都免谈~!.! 01/04 22:22
16F：推 qhair:2元常态可以用任意线性转换後还是单变数常态来证 01/05 02:03