※ 引述《jianbanglin (一个人~我会努力的~)》之铭言： : 题目为: : Xi i.i.d. U(0,θ) , 0<x<θ , i = 1,2,3,4 : Construct a 95% confidence interval for θ. : 以下是我解答 : ∵Xi i.i.d. U(0,θ) : ∴Xi/θ i.i.d. U(0,1) : 令Y4 = Max(X1,X2,X3,X4) : Y4 : 令Q = ---- 服从 Beta(4,1) , 其分配与参数θ无关 , 为pivotal quantity : θ : Y4 : 0.95 = P( a <= Q <= b ) = P( a <= ---- <= b ) : θ : Y4 Y4 : = P( ---- <= θ <= ---- ) : b a : b : 其中a,b满足∫f(t)dt = 0.95 , 其中的f(t)为Beta(4,1)之p.d.f. : a : b b |b : ==> ∫f(t)dt = ∫ 4t^3 dt = t^4 | = b^4 - a^4 = 0.95 : a a |a : Y4 Y4 : 则 95% C.I. for θ 为 ( ---- , ---- ) , 其中b^4 - a^4 = 0.95 : b a : 因为题目没有要求最短区间,是不是算到以上即可?这是我第一个问题 : : 若是要算最短区间长的时候 : 令 b = b(a) 为a的函数 , 区间长度 L = Y4 (1/a-1/b) : -1 1 db : 将L对a微分 , 令其值为 0 ==> Y4 ( ----- + -----。---- ) = 0 : a^2 b^2 da : -1 1 db : ==> ----- + -----。---- = 0 : a^2 b^2 da : db b^2 : ==> ---- = -----　　－－－ (一) : da a^2 : 再将 b^4 - a^4 = 0.95 , 也对a微分 : db : ==> 4b^3 ---- - 4a^3 = 0 : da : db a^3 : ==> ---- = ----- －－－ (二) : da b^3 第一个问题是对的 第二个问题是解题步骤有问题 在第一式求出後 b db 应该先对此限制式微分 ∫f(t)dt = 0.95 ,即 f(b)---- - f(a) = 0 a da db a^3 1 1 得 ---- = ---- , 再令 L(a) = --- - --- 对 L(a) 微分a da b^3 a b , -1 1 db a^3 -b^3 则 --- + --- ---- = ---------- < 0 (a<b) a^2 b^2 da a^2 b^5 故 L(a)为a之递减函数, 满足 L(a)越小, a越大 --> b越大， 所以b=1 再将 b=1 带回限制式 1 即 ∫f(t)dt = 0.95 求得a即可 a --

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