※ 引述《[email protected] (bell)》之铭言： > 「样本标准差」为什麽要除以「n减 1」? > 有高手可以帮我解答吗? > 谢谢~ 作者 yhliu () 看板 math 标题 Re: [问题] 请问统计 标准差 问题......... 时间 2005/06/16 Thu 11:49:03 ※ 引述《[email protected] (冬天阳光下的诗人)》之铭言： > 为何样本的标准差定义 分母要总个数少一 但母群体的不用 可否请懂的人 > 解释一下 谢谢..... 虽然是老问题了, 也看不到有人提出新的答案. 那麽, 就 先剪贴几段旧回答来看看吧! (1) 以样本标准差而言, 用 n-1 除是为了满足 "不偏性", 如此而已. 不过, 此处「不偏性」是对其平方, 也就是对变异数来说的! 对标准差而言, 「不偏性」仍不成立。 (2) (计算标准差时) 除以 n 或除以 n-1 都有其道理! 只是常用於不同场合。 一般的规则是: 如果资料是属於「群体」资料,则用 n 来 除; 若是属於「样本」资料, 则除以n-1。 它的想法是: 若样本资料是从一个很大的群体用随机方式 抽取, 则计算样本标准差时用 n-1 来除比较不会低估--- 意思就是: 如果要用样本标准差估计群体标准差,则用n-1 来除比较少低估现象。 而计算群体标准差时用 n 来除,是符合直觉的想法: 把各 资料点和平均数间差距平方後再「平均」, 用以衡量平均 的「变异」。因「变异」是差异量的平方, 所以平方後再 求其平方根而成为标准差。 (3) 从「变异数」来看, 它代表「平均变异」。 既是平均, 直觉上应该用观测数 n 来除。但原资料 n 个 变异 (Xi-Xbar)^2 只有 n-1 个是「有效的」--- 我的意 思是: 决定了其中 n-1 个, 剩下一个就决定了。例如n=2, X1-Xbar=(X1-X2)/2=-(X2-Xbar)。 再者, 在样本资料中计算变异量本来应计算(Xi-M)^2, 此 处 M 代表群体平均, 但我用的是 Xbar. (Xi-M)^2 的总和 = (Xi-Xbar)^2 的总和 + n(Xbar-M)^2 ^^^^^^^^^^^^^^ 也就是说: 样本变异量 (Xi-Xbar)^2 的总和 比 (Xi-M)^2 的总和少了一点点。因此, 用 n-1 来除是比较合理的。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 那麽, 为甚麽在计算 "群体变异数" 时不以 N-1 来除呢? 其实在群体也是可以用 N-1 来除的! 只是书上不说,所以 考试时你最好乖乖地用 N 当分母. 难道教科书的作者都不讲道理吗? 非也, 非也! 甚麽是一个 "群体"? 甚麽是 "群体大小" N? "群体大小" N 只是对所谓 "有限群体" 是有效的! 而且, 所谓 "有限群体" 只是就抽样时采 "抽出後不放回" 的方. 式才存在的. 实务的 "调查" 都是这种有限群体抽出後不 放回的抽样方式. 因此, 抽样调查或抽样方法的书确实都 有用 N-1 当分母的 "群体变异数"/"群体标准差" 的公式. 但实际上 N 是很大的! 对台湾地区20岁以上人口抽样, N 是多少? 这麽大的 N, 用 N 或用 N-1 除有差吗? (注意: 这是统计, 不是数学问题! 重视实务的统计不会去烦恼以 10000000 当分母或以 9999999 当分母的差异.) 而在一般统计学中, 根本不谈有限群体! 在讲 "随机抽样" 时是假设 "抽出後放回" 的抽法. 因此, 即使群体只有少 数个体, 每一个体可被重复抽到, 等於有无限个个体. 那 麽, "N" 是甚麽? 事实上这时 N 是无穷大! 如果 N=∞, 还烦恼甚麽 N 或 N-1? 可是, 还是有个群体的 N 啊!? 上面说了: 考虑抽出後放回.... 假设群体值是 1,2,3,4, N=4. "抽出後放回" 相当於把它各复制无限多份: 有无限 多个 "1", 无限多个 "2" ... 都是 "无限多个", 不就乱 成一团? 所以我们用 "有限个" 去代替无限吧! 假设有 k 个 1, k 个 2, k 个 3, k 个 4. 所以,"群体大小" 不再 是 N=4, 而是 N=4k. 所以, 分母用 (群体大小 - 1) 时, 是 4k-1 而不是 4-1=3. 然後,你可以发现用 4k 或 4k-1 当除数, 其实都变成一样! -- 夫兵者不祥之器物或恶之故有道者不处君子居则贵左用兵则贵右兵者不祥之器非君子 之器不得已而用之恬淡为上胜而不美而美之者是乐杀人夫乐杀人者则不可得志於天下 矣吉事尚左凶事尚右偏将军居左上将军居右言以丧礼处之杀人之众以哀悲泣之战胜以 丧礼处之道常无名朴虽小天下莫能臣侯王若能守之万物将自宾天地相合以降甘露民莫 之令而自均始制有名名亦既有夫亦将知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海