※ 引述《[email protected] (蚵仔咧？蚵仔咧？)》之铭言： > 我已有查一些数统和机率的书 > 只是大部份还是采用动差母函数来证明而已 > 当然其中也不乏有书提过 > "因为要证明其二阶动差存在才能套用ＣＬＴ 所以用特徵函数来证是较严谨的" > 只是提归提 证明的时候还是略过特徵函数 > 以下是我从某本书抄下来的利用特徵函数来证明的过程 既然考虑严谨性, 既然用 ch.f., 就必须知道: ch.f. 是 复数值的. 那麽, 一个复数的 "对数" 并非唯一定义的. 因此, 避免取对数吧! 若 X 的二阶动差存在. 利用 |e^{itx} -(1+itx-(tx)^2/2)| ≦ min{|x|^{n+1}/(n+1)!, 2|x|^n/n!} 得 ψ(t)≡E[e^{itX}] = 1 + it E[X] - (t^2/2)E[X^2] + o(t^2) 令 Sn=ΣXi, Zn=(Sn-nμ)/√(nσ^2), 其中 μ=E[Xi], σ^2 = Var[Xi]. 则 Zn 之 ch.f. 为 Ψn(t) = E[e^{it Zn}] = e^{-it(√n)μ/σ {ψ(t/(√nσ))}^n 不失一般性, 令 μ=0 且 σ^2=1, 则 Ψn(t) = {1-t^2/(2n)+o(t^2/n)}^n Lemma: 设 z_i, w_i, i=1,...,n, 为绝对值小於 1 的复数, 则 |z_1 z_2 ... z_n - w_1 w_2...w_n| ≦ Σ|z_i - w_i| 故 |Ψn(t) - [1-t^2/(2n)]^n| ≦ n o(t^2/n) = t^2 o(1) 当 n→∞ 即 lim |Ψn(t) - [1-t^2/(2n)]^n| = 0 n→∞ 故 lim Ψn(t) = lim (1-t^2/(2n))^n = e^{-t^2/2} n→∞ n→∞ -- H E L P !!! 统 计 专 业 版 需 要 你 !!! 来 贴 文 吧 !!! 无名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (统计方法讨论区) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) ★本文未经本人同意请勿转载; 回覆请勿全文引用, 请仅留下直接涉及部分。 -- 夫兵者不祥之器物或恶之故有道者不处君子居则贵左用兵则贵右兵者不祥之器非君子 之器不得已而用之恬淡为上胜而不美而美之者是乐杀人夫乐杀人者则不可得志於天下 矣吉事尚左凶事尚右偏将军居左上将军居右言以丧礼处之杀人之众以哀悲泣之战胜以 丧礼处之道常无名朴虽小天下莫能臣侯王若能守之万物将自宾天地相合以降甘露民莫 之令而自均始制有名名亦既有夫亦将知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海