作者kim (蚵仔咧？蚵仔咧？)
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标题[问题] 中央极限定理（ＣＬＴ）证明上的一些问题
时间Thu Feb 8 00:33:39 2007
我已有查一些数统和机率的书
只是大部份还是采用动差母函数来证明而已
当然其中也不乏有书提过
"因为要证明其二阶动差存在才能套用ＣＬＴ 所以用特徵函数来证是较严谨的"
只是提归提 证明的时候还是略过特徵函数
以下是我从某本书抄下来的利用特徵函数来证明的过程
_
令 Z=(X-μ)/(σ/√n)
n
Ψ(t)=E(e^itZ) = exp{-it√nμ/σ} * π E
( exp{itX(j)/(√nσ)}
) ..(1)
j=1
=exp(-it√nμ/σ) * [Ψ(t/√nσ)]^n ..(2)
=exp(-it√nμ/σ) * exp{n *ln[Ψ(√nσ)]} ..(3)
=exp{n*[ln
[Ψ(t/√nσ) - iμ(t/√nσ)
]]} ..(4)
t^2 ln[Ψ(t/√nσ) - iμ(t/√nσ)]
=exp{──*────────────────} ..(5)
σ^2 (t/√nσ)^2
ln[Ψ(t)]-iμt (d/dt)Ψ(t) ／ Ψ(t) - iμ
lim ─────── = lim ────────────── ..(6)
t→0 t^2 t→0 2t
(d^2/dt^2)Ψ(t) * Ψ(t) - [(d/dt) Ψ(t)]^2
=lim ────────────────────── = -(σ^2)/2 ..(7)
t→0 2*[Ψ(t)]^2
所以lim Ψ(t)= exp(-t^2 ／ 2) (by (5) & (6) )
n→∞
_ d
所以by P.Levy连续性定理和chf唯一 可得 (X-μ)/√nσ ─→ N(0,1)
只是我不太懂
在第六式和第七式里面
最主要就是在说明其二阶动差存在吗？
是否就是因为这样的区别
所以才要用这个来证？
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∫εδ≧≦∵∴√→∞^Σπ÷˙
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