作者jangwei (呆呆)
看板Statistics
标题Re: [统计] Poisson 转 Gamma的证明
时间Fri Jan 12 17:32:46 2007
※ 引述《chrisjon (研究布丁狗)》之铭言：
: ※ [本文转录自 Math 看板]
: 作者: chrisjon (研究布丁狗) 看板: Math
: 标题: [统计] Poisson 转 Gamma的证明
: 时间: Fri Jan 12 15:55:25 2007
: 算到後来
: α-1
: F(Z) = 1 - Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
: y=0
: 简单的说就是Y ～ Poisson(λz)
: F(Z)是P(Z≦α-1)
: 然後
: λ^α
: f(z) = F'(Z) = ──── z^(α-1)e^(-λz)
: (α-1)!
: 我主要想问的是：离散的Poisson怎麽做积分?
: 谢谢
我试着用你的符号来思考你的问题,
若Y ～ Poisson(λz)
Z ～ Gamma(α,λ)
则下列等式恒成立:
P(Z<=z)=P(Y>=α)
亦即
α-1
F(
z) = 1 - Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
y=0
∞
= Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
y=α
而你想导出Z的pdf为:
λ^α
f(z) = F'(
z) = ──── z^(α-1)e^(-λz)
(α-1)!
因为Z为一连续随变数,自然可以微分......
推导如下:
f(z) = F'(
z)
d ∞
=--- Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
dz y=α
∞
= Σ [λy(λz)^y-1] e^(-λz) / y!
y=α
∞
+ Σ (λz)^y [(-λ)e^(-λz) / y!]
y=α
∞
=λ Σ e^(-λz)[(λz)^(y-1)/(y-1)!]
y=α
∞
-λ Σ e^(-λz)[(λz)^y/y!]
y=α
λ^α
= ──── z^(α-1)e^(-λz)
(α-1)!
呼.......真得不喜欢用bbs打数学符号..........
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.129.34.115
1F：推 suntimes:其实还没仔细看，但是你做的真漂亮XD 01/12 17:35
2F：推 jangwei:发现原po有些大小写有问题,我改一下..... 01/12 17:42
※ 编辑: jangwei 来自: 140.129.34.115 (01/12 17:43)
3F：推 chrisjon:没啊!我是照课本写的，课本是写大写没错 01/12 17:45
4F：推 uso1626:恩...课本写的不一定对 01/12 17:56
5F：→ chrisjon:可能是打错了吧…y大当很大=.,=" 01/12 20:41
6F：推 allen1985:因为大写小有意义上的不同 所以不只是两个符号 01/12 21:39