※ 引述《[email protected] (阿伟)》之铭言： > ※ 引述《iinlovekimo (iinlovekimo)》之铭言： > : If X is a N(0, 1) random variable, then > : k > : E(Φ(hX + k))= Φ(-------------) > : √(1-h^2) > : for all real number h, k, > : where Φ() denotes the cdf of standard normal distribution. > : 我自己的想法是利用Double Expectation > : E(E(Φ(hX + k))|X)然後再做个转换...但试不太出来... > 令Y=hx+k ,Φ(hX + k)=Φ(Y)~U(0,1) > k > : E(Φ(hX + k))=1/2= Φ(-------------) > : √(1-h^2) > k > : 所以 -------------=0 => k=0 > : √(1-h^2) > 不知道对不对?? 当然不对! 要证的是 E[Φ(hX + k)] = Φ[k/√(1+h^2)] for all real numbers h and k 怎可能推出 "k=0" 的结论? E[Φ(hX + k)] ≡ 1/2? 根本是观念不清的答案! 将 E[Φ(hX + k)] 依计算式(积分式)写出, 并将 Φ 以积分式表示. 注意 Φ(hX + k) 依 h 正负而有不同意义. 当 h>0 时它是 N(-k/h,1/h^2) 的分布函数; h<0 时则反 方向, 取 Φ(hX + k) = 1 - Φ(-hX - k), 而 (-h)>0; h=0 时, Φ(hX + k) = Φ(k). 三种情形要分别谈. 如上, h≠0 时 E[Φ(hX + k)] 写成双重积分, 立即可知 它与两个 normal 随机变数的差的机率有关. 如 h>0 时, E[Φ(hX + k)] = P[X>Y] 其中 X～N(0,1), Y～N(-k/n,1/h^2), X 与 Y 独立 故立即可得 E[Φ(hX + k)] = Φ[k/√(1+h^2)], 当 h>0, k any real. 附言: 原题右式显然有错! h=1 或 -1 代入即知. -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! :) 统计专业版, 需要你的支持! :) 无名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (统计方法讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) ★本文未经本人同意请勿转载; 回覆请勿全文引用, 请仅留下直接涉及部分。 -- 夫兵者不祥之器物或恶之故有道者不处君子居则贵左用兵则贵右兵者不祥之器非君子 之器不得已而用之恬淡为上胜而不美而美之者是乐杀人夫乐杀人者则不可得志於天下 矣吉事尚左凶事尚右偏将军居左上将军居右言以丧礼处之杀人之众以哀悲泣之战胜以 丧礼处之道常无名朴虽小天下莫能臣侯王若能守之万物将自宾天地相合以降甘露民莫 之令而自均始制有名名亦既有夫亦将知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海