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标 题[意见] 关於 Chebyshev inequality
发信站盈月与繁星 (Fri Aug 25 09:24:58 2006)
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标准版的 Chebyshev inequality 是 two-tailed, 即
P[|X-μ|≧kσ] ≦ 1/k^2
由於 X 并没有假设是对称的, 因此对於单尾机率不能说
P[ X-μ≧kσ] ≦ 1/(2k^2)
不过, one-sided Chebyshev inequality 可得
P[ X≧μ+kσ] ≦ 1/(1+k^2) < 1/k^2
P[ X≦μ-kσ] ≦ 1/(1+k^2) < 1/k^2
这界限比直接以双尾机率上界当单尾机率上界好!
在初统课程, 不会去证明这些不等式. 但以前曾见到有书
本提到对称分布之(双尾)机率不等式 (以改进 Chebyshev
ineq.) 却没有提到 one-sided Chebyshev ineq. 的.
如果没有记忆负担(强记公式)的问题, 这单边 Chebyshev
不等式也是颇有意思的. 例如取 k=1 时, 得
P[ X≧μ+σ] ≦ 1/2 ≧ P[ X≦μ-σ]
虽然平均数μ不是分布的真正 "中心", 但分布 "中心点"
中位数与 μ 的距离不会超过一个标准差.
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