作者WANG3213 (WANG3213)
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标题Re: [问题] 机率问题..
时间Mon Apr 3 16:01:02 2006
※ 引述《taldy ()》之铭言：
: ※ 引述《taldy ()》之铭言：
: : X1,X2...~iid P(Xi=1)=P(Xi=-1)=1/2
: : ∞
: : Y=Σ Xi/2^i 使用mgf法求Y的分布
: : i=1
: To mangogogo
: 接下去 我的 步骤是我自己猜的拉 不知有没有观念错误
: ∞ ∞
: =exp{t*Σ 1/2^i} * p(Xi=1) + exp{t*Σ -1/2^i} * p(Xi=-1)
: i=1 i=1
: =算出来跟X的mgf一样
不对，Y~U(-1,1)
不过我是用模拟的方式先得到结果，再把中间过程补齐
但其中有一个过程，我没有办法解决，你参考一下：
令 Yi=Xi/2^i ,则 mgf of Yi is [e^(t/2^i)+e^(-t/2^i)]/2
∞
因此 mgf of Y 是 Π {[e^(t/2^i)+e^(-t/2^i)]/2} ....(1)
i=1
这个极限似乎很难求...
但如果注意到 [e^(t/2^i)+e^(-t/2^i)]/2 = cosh(t/2^i) (hypercosine)
∞
则 (1) = Π cosh(t/2^i)
i=1
∞
而我记得在书上看过有 Π cos(t/2^i) = sin(t)/t 的结果.
i=1
幸运的是，这个无限乘积换成双曲函数似乎也成立
∞
也就是 Π cosh(t/2^i) = sinh(t)/t
i=1
(不要问我爲啥，因为我只是用数值方法确定，详细内容可能要移驾MATH版)
而 sinh(t)/t = [e^t + e^(-t)]/2t 恰好为 U(-1,1) 的mgf
所以 Y~U(-1,1) 罗......
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◆ From: 219.71.62.141
1F：推 taldy:嗯嗯这才是正解 这题我有解出来 04/03 16:06
2F：推 taldy:其实这提要先求Mn的分配 然後n趋近於无穷算他的极限分配.. 04/03 16:08
3F：推 WANG3213:Mn是啥？所以你又有东西没有告诉我们？ 04/03 16:40
4F：推 Shellingford:请问WANG3213还记不记得是在哪本书上看到那个结果的? 04/03 18:35
5F：推 WANG3213:不记得了耶，某本分析或高微的书吧，SORRY..... 04/03 22:45
6F：→ WANG3213:原PO不是解出来了，麻烦再PO出来造福大家吧... 04/03 22:46
7F：推 taldy:我有大概回一下我的解法了 .. 04/04 00:01