※ [本文转录自 caseypie 信箱] 作者: [email protected] ([email protected]) 标题: [心得] 由波耳氢原子模型谈量子力学的建立（3） 时间: Thu Jun 3 09:52:12 2010 作者: caseypie (遗世独立) 看板: Tymora 标题: [心得] 由波耳氢原子模型谈量子力学的建立（3） 时间: Sat May 15 04:06:48 2010 後续发展 波耳模型尚有其他困难。比方说，它只能圆满解释氢原子模型。至於其他更复杂的原子， 其光谱有着被称为「精细结构（fine structure）」、较氢原子光谱复杂甚多的细微变 化。关於这些实验结果，波耳模型则无能为力。 波耳和索莫非（Arnold Sommerfeld）在稍後提出了一个含有一系列离心率不同的椭圆电 子轨道的原子模型，藉由以量子化条件来调控这些椭圆轨道的形状，以及引入相对论来 修正计算结果，成功的解释精细结构。两人并以此发展出波耳-索莫非量子化关系式 （Bohr-Sommerfeld quantization），此一结果至今依然在部份统计力学（statistical mechanics）的领域大行其道。然而，随後，又有实验结果指出，在电子数更多的原子 中，又有更复杂的「超精细结构（hyperfine structure）」使得其光谱显现出其他变 化。这一次，波耳再也无法修正其模型以符合之。 物质波 然而，波耳对於原子光谱的大胆假设，已经在物理学界掀起涟漪。以能量跃迁，而非古 典的电荷加速度运动，来说明电磁辐射来源，这样的变革性假设引起了许多物理学家的 注意，并试图以这个观念出发，推演出其他的结果。1923年，德布罗依（de Broglie） 为了寻找一个能圆满解释波耳模型、并将其推广至适用於所有原子的理论，提出了「物 质波（matter wave）」概念。该概念的核心为「波粒二象性（wave–particle duality）」，即是说，任何物质都具有波的性质，无法定义出其确切位置。以公式表达 此学说，即为： λ=h/p λ是某物体的「物质波」波长，h是蒲朗克常数，p是物体的动量。 利用物质波的观念，可进一步解释波耳先前关於角动量的假定：原子中电子的角动量必 须是蒲朗克常数h的整数倍。推导过程如下： 考虑圆周运动的情况，则电子角动量与动量的关系为： L = n(h/2π) = rp r是电子与原子核的距离，亦即原子半径。 代入德布罗依的物质波公式 λ = h/p： nh/2π = r．h/λ 整理可得： 2πr = nλ 此式左侧是圆周长，右侧则是电子物质波波长的整数倍。这条公式的含意即是：电子的 物质波必须在其轨道上形成驻波，宛若某种「共鸣」。此一结果之大胆、创新，在当时 极具震撼力。 1927年，Lester Germer和Clinton Davisson以电子进行镊金属晶格之绕射实验，证实了 电子确实能表现出波才有的绕射效应。德布罗依因此以物质波理论获得1929年诺贝尔物 理学奖。 至此，似乎一切都有了合理的解释。尽管波耳模型尚无法解释某些原子光谱内的精细结 构，但一般相信，以物质波的观念出发，这些结构终究能够被其他关於电子轨道的量子 化条件所圆满处理，一时无法解决不过是因为这些计算太过复杂罢了。原子模型的建立， 也似乎告了个段落。 然而，物质波的概念，却在不久後引伸出了全盘否定上述所有的原子模型的理论：薛汀 格方程式。 量子力学的完备 1926年，薛汀格（Erwin Schrödinger）发表了之後被视为量子力学基石的薛汀格方程 式（Schrödinger equation）。不久之後，由此方程式推导出的氢原子模型圆满的解释 了所有波耳模型以及之後的一切模型都无法处理的问题，同时也彻底否定了波耳模型的 基本假设。此一推导是今日量子力学教科书上的重要章节，被视作一个经典范例。 薛汀格方程式是一个波动方程式，计算的是物体的「波函数（wave function）」--显而 易见，此一构想与德布罗依之物质波学说有着相关性。然而，薛汀格方程式不仅仅是给 出波函数的波长，还能算出它的真实型态：「波函数」在空间和时间中的分布型态。 利用薛汀格方程式计算氢原子，可以得到以某个正整数定义的一系列「量子化分布」的 波函数，每个波函数又都对应一个特殊的能量--恰巧是波耳模型中，那些「稳定态」的 能量。薛汀格方程式给出了波耳模型中的结果。 除了氢原子模型，薛汀格还将他的方程式运用在其他的物理系统。比方说，他成功以这 个方程式给出了量子化的简谐运动（simple harmonic motion）系统的波函数，并以此 计算出许多与实验相符的结果。 然而，至此尚存在许多谜团：薛汀格未能解释究竟「波函数」代表了什麽，更无法对 「波函数」和「物质波」间似有若无的关联提出说明。 所幸一切随即被玻恩（Max Born）圆满说明：电子的波函数和电子在时空中某一点的出 现机率相关连；更精确的说法是：波函数取绝对值後再平方，就是机率分布函数。玻恩 之後与波耳合力完备这个学说，在1927年提出了量子力学的世界观基础：哥本哈根诠释。 按照哥本哈根诠释：根据薛汀格方程式的计算结果，电子并非以「行星模型」的型态绕 行原子核，甚至也并非任何一种能称之为「轨道」的路径。取而代之的是「轨域 （orbital）」的概念：说明电子在原子核周遭的机率分布，却不说明电子核的确切位置， 此一机率分布有时被称为「电子云」。 一种轨域对应一个能量，电子就在这些不同的轨域当中随着能量的变化而跃迁，跃迁当 中散发的光线就成了不连续的原子光谱。以上是完备後的量子力学所建立的原子模型。 今日回顾，波耳的原子模型从一开始就假设错误，由其推导出的一系列理论和假说则对 错参半。德布罗依的物质波概念贡献颇大，但其细节描述同样充满漏洞，而「物质波在 电子轨道上形成驻波」这看似合理的「共鸣」说法也遭到弃置。 量子力学正式定於一尊，哥本哈根诠释也成为公认最恰当的量子力学哲学诠释。许多理 论在由古典时期过渡至此的摸索历程中百家争鸣，不过如今只有够严谨的那些学说能够 留存下来。至於那些过於天马行空荒诞不经的，就逐渐消失於教科书中。 今日，科学界称呼蒲朗克、波耳、索莫非、德布罗依等人在1920-25年间这些「半古典 （semiclassical）」的学说为「旧量子论（old quantum theory）」。尽管，这个时代 的论文往往漏洞百出、自相矛盾、语焉不详，但其真实的反应了科学界在新旧时代交替 时，跌跌撞撞的发展历程。 「旧量子论」的共同之处在於：它们试图掌握「量子化」这个新概念，并用各种方法与 既有之物理学概念调和。必须指出的是，此一方式并非全然无用；相反地，时至今日， 这些「半古典」的诠释方式依然能够定性（qualitative）描述某些物理现象，从而指引 物理学家如何进行更详细的定量（quantitive）研究。在许多当今的物理领域，例如量 子混沌效应（quantum chaos），这些依然是相当重要的研究工具。 结语：被省略的黄金年代 现今的高中课本，以及大多数的大学近代和量子物理教科书，均是先引入角动量量子化 的条件，再推导出波耳的氢原子模型。然而，笔者详述波耳创立此一模型之经历，意在 指出：科学的发展并非如此平顺，反而像是在一团迷雾中慌乱的摸索又抛弃，做出各式 各样荒诞绝伦的假定，再由实验（往往也依赖相当粗糙的技术）做出筛选，而剩下的那 些再经过反覆不断的修正、补完，终於成为今日习以为常地，简洁又逻辑清晰的物理 定律。 今日，量子力学的地位显得不可动摇。众多的物理教科书陈述着量子力学完整且和谐的 数学架构：浅显一点的大学普通物理教科书会从「波函数」，也就是薛汀格建立的「波 动力学」观点入门；较高级的专业物理书籍则会提及海森堡（Werner Heisenberg）建 立的「矩阵力学」，从听起来相当玄妙的「希尔伯特空间（Hilbert space）」建立一 系列的数学定律，再从中推导出万千井然有序的物理定律。无论是哪一种观点，量子力 学总是显得完整圆满、有条有理、基石稳固而发展稳健。 然而，我们永远必须谨记在心的是：任何看似完整圆融的理论都有所谓的「草创时期」； 当然，量子力学也不例外。1900至1930年代的那段岁月，物理界充斥着各式各样难以理 解的实验结果，以及在当时看似荒谬绝伦的假设。众多物理学界的大师彼此激烈的争辩， 甚至相互攻讦；年轻的一辈则趁此崭露头角，以青春作为本钱毫无顾忌的提出革命性的 观点。总体来说，那是个群雄并起的战国时代，百花齐放所代表的另一层意义，是物理 世界观的混沌：没有人能根据这些新的理论与实验结果，提出一个真正令所有人都信服 的「看待世界的观念」。 而在其中，波耳的氢原子模型，或许最足以彰显这个混乱却又充满希望的时代。今日回 顾此理论的建构与以此推演出的一系列讨论，当年量子力学的草创历程显得饶富趣味。 深究这一由旧时代跨越至新时代物理世界观的理论，能使我们更清晰的理解：科学家如 何建构一个新的理论体系。 --------------------------------------------------------------------------- 参考资料： Bohr, N (1913). On the constitution of atoms and molecules. Philosophical Magazine 26, 1–24. de Broglie, L (1929). The wave nature of the electron. Nobel Lectures. [data file] Retrieved from http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1929/broglie-lecture.pdf Eisberg, R & Resnick, R (1985). Bohr's model of the atom. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.) 85-123. -- http://caseypie-bard.blogspot.com/ --

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