※ [本文转录自 caseypie 信箱] 作者: [email protected] ([email protected]) 标题: [心得] 由波耳氢原子模型谈量子力学的建立（2） 时间: Thu Jun 3 09:52:11 2010 作者: caseypie (遗世独立) 看板: Tymora 标题: [心得] 由波耳氢原子模型谈量子力学的建立（2） 时间: Sat May 15 03:55:21 2010 波耳的氢原子模型 根据蒲朗克提出的理论，一个物理系统所能发射出的光波能量是不连续的，存在一最小 的能量元素单位—後来这单位普遍地被称之为「量子（quantum）」。以公式表达，即是： E = nhν 波耳采用这个的观念，做出假定：原子的能量并非任意的，而是量子化的；因此，电子 亦只能存在於使原子维持在这些特定能量的特定组态。原子的能态分布也满足蒲朗克的 公式，即： E =nhf (注：此处之原子能量 E 是取绝对值，故恒正。事实上原子能量为负值。） 需要注意的是：由於此处的 f 本身也可能是 n 的函数，随 n 而变，因此 E 和 n 未必 是正比关系。 在古典观念中，光，也就是电磁波，是因为电荷的加速度运动而散射。波耳扬弃了这个 理论；他认为：原子发射出的光波，是源自原子从高能组态降至低能组态时，所释放出 的能量；当原子处於那些量子化的特定能态时，是不会发出电磁波的。此一概念将深刻 影响波耳对於雷得堡公式的阐释，将在之後介绍。 波耳尚须解决一个问题：频率 f 究竟是什麽的频率？此处，他的处理方式却参照了电磁 波的古典观念：根据行星状原子模型，电子绕行原子核行圆周运动--也就是个周期性的 加速度运动。波耳相信这个圆周运动的周期与他需找到的特徵频率f密切相关。他采用的 频率是「电子绕行原子核的公转频率的一半」。 显而易见地，此一步骤相当难以令人信服：采用电子的公转频率尚是个可以接受的假定， 但为什麽是一半，而不是其他的比值呢？在1913年的论文当中，波耳花了相当的篇幅来 说明为何使用二分之一这个比值。笔者将在稍後说明这个问题，先将波耳剩余的推导过 程叙述完毕。 行星系统可说是古典力学之滥觞，有数百年的研究历史。而重力和电力又依循同样的平 方反比定律，公式的形式根本完全相同。因此，剩余的部份仅需引用前人的推导成果， 再加以类比即可，相当简单。笔者在此不详述推导过程而仅大略列出古典力学中行星系 统的计算结果： 符号标示：v 是电子绕行原子核的公转速度，r 是电子和原子核的距离，e 是电子（以 及质子）带电量，m 为电子质量，E 为此系统的总能量（由於相较之下重力非常小，故 只需考虑电磁能），ε0 为真空中电容率（电磁学某常数）。 f = (1/2)(v/2πr) = v/4πr E = (1/2)(e^2/4πεr) i.e. r = e^2/8πεE E = mv^2/2 i.e. v = √(2E/m) (m为电子质量) 综合以上三式，得到： f = (2ε/e^2)√(2/m)E^1.5 再配合波耳之假设： E = nhf = nh(2ε/e^2)√(2/m)E^1.5 整理後得到： E = [me^4/(8ε^2．h^2)](1/n^2) = 2.179*10^-18/n^2 J r = (εh^2/πme^2)n^2 = 5.29*10^-11 m 这即是波耳模型的结果：原子能量与原子半径（也就是电子和原子核的距离）。这结果 相当重要，因为它们完全由已知常数构成，而这两个数值又能被当时能进行的其他实验 检验之：这代表波耳模型能够「由原有的科学知识延伸至新的知识」，超越了「凭实验 数据凑答案」的粗浅层次。实验证实，波耳的计算结果是正确的，因而确立了波耳模型 在近代物理史上的地位。 争议的假定 现在回到那令人困惑的「一半」假设。事实上，此一结果是波耳的後见之明，目地是为 了让波耳模型导出的原子能量 E 符合之前雷得堡公式的结果。演绎过程如下： 倘使 f 不是电子公转频率的一半，而是其他数值，则 f 和 E 的关系将更动为： f = x．(2ε/e^2)√(2/m)E^1.5 x为某个比例常数。 那麽，原子能量将为： E = [(1/x^2)me^4/(8ε^2．h^2)](1/n^2) 波耳对原子光谱提出两个想定： 一、原子发射出的光波，是源自原子从高能组态降至低能组态时，所释放出的能量。 二、根据蒲朗克的理论，这些光波的能量正比於其频率。 因此： E_1 - E_2 = hν = hc/λ 引用雷得堡公式： 1/λ = R(1/(n_1)^2 - 1/(n_2)^2) 合并可得： E_1 - E_2 = hcR(1/(n_1)^2 - 1/(n_2)^2) 在波耳模型中，E和n^2成反比。显而易见地，雷得堡公式中，含有n_1的项和n_2的项， 其实是两个不同能态的原子能量。此一类比也印证了波耳的第一个假定：原子发射出的 光波，是源自原子从高能组态降至低能组态时，所释放出的能量。 将此一结果和加上x这个比例常数後的E表达式做对照，可以得到： (1/x^2)me^4/(8ε^2．h^2) = hcR 整理後得到： R = (me^4/8ε^2h^3c)(1/x^2) 实验得到的雷得堡常数 R 是 109677.58cm-1；而若将 x 设为1，根据已知常数数值算 出的等号右侧的数值，是109737.315cm-1 --和前者的差距只有万分之五！并且，这个 差距在隔年即被轻易的以「约化质量（Reduced mass）」法修正；也就是说，雷得堡常 数的实验结果显示，x 必须恰好是1。 於是，此一争议的假定有了解释。然而，这个解释是建立在实验数据上的。事实上波耳 并不能以此作为「解释」--这仅仅也是「凭实验数据凑答案」罢了。至此，波耳模型尚 存在一个问题：我们依然无法纯粹从理论推得雷得堡公式中的雷得堡常数 R；即是说， 对於原子模型，我们仍然没有全盘理解究竟是何种机制在操纵这「量子化」的能量分布， 以及由此而产生的不连续光谱。 注：以上两个章节是参照波耳当年论文的列式而写出。然而，当年物理学界的惯用符号 与今日大不相同；此外，原论文采用CGS单位，导致部份公式之写法与台湾惯用之MKS单 位不同。因此，笔者已将大部分公式转换成台湾读者熟悉的形式。 重新诠释角动量 为了彻底解决这个争议，波耳大胆的提出阐释：他引入了电子的角动量来解释这个问题， 并推导出一个可能比波耳模型本身更重要的理论：角动量亦是量子化的。 简略的推导如下： 根据行星模型，电子角动量 L、原子能量 E、以及电子绕行频率 2f 之间的关系式如下： πL = E/2f 注，此一关系完全由古典力学之行星理论推出，无涉任何新假设，有兴趣的读者可自行 推导。 根据波耳对於原子基础频率的假设: E = nhf 合并两式： πL = nh/2 稍做整理： L = n(h/2π) = n．h_bar 此一极为简洁的关系式，即是角动量量子化的结果。 波耳在推导过程最末写下： 如果我们藉此推定，一个安定的电子运行轨迹必须是圆周运动，那麽第五页（笔者注： 即是说原子能量 E 与半径 r 之相关推导）的计算结果将能以很简单的方式表达：处於 安定状态的电子，其绕行原子核的角动量必定是某个恒定常数的整数倍，且与原子的电 荷或原子核均无关。 这样的诠释不可不谓大胆；说得难听点，其实相当语焉不详。为了解决既存的疑云而引 入了角动量量子化这个更加天马行空的假说，波耳模型在初期因此而饱受抨击。当时， 他的导师拉塞福，与同样享有盛名薛汀格（Erwin Schrödinger）均曾质疑过此一模型。 -- http://caseypie-bard.blogspot.com/ --

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