通常被数学系所训练出来的学生 被问到什麽是微分方程时...通常会给出类似下方的答案... 我之前也听过许多其他人讲过类似下面的讲法... 姑且先不讨论 "是不是每个数学系的学生都应该用这个观点去看微分方程?" 但...从我的观点来看...下面对微方的看法...很容易失去微方原有的本质 什麽是一个微分方程...最简单最容易遇到的就是 F = ma 或许你心中已经有答案了..."微分方成就是用来描述生活的现况" 但你确定你每次作实验都能作出完美的等号吗XDDDD 或者应该更精确的说..."方程" 是用来逼近 "生活" 脱离生活而研究的方程有一些会变成符号游戏... 或许有很多数学系的人对这方面会有兴趣 不过我也是数学系毕业的...但我对这方面的方程就不太会有兴趣... 反正人各有志...也不需要强求别人用自己的观点吧 下面的文中提到:解的存在性问题 或许...对数学系而言这是重要的问题... 不过反正...解的出来就算存在了... 那对於不善 逻辑推理 与 数学分析 的工学院或是物理系... 是不是就不用研究方程了呢?? 当然不是...他们都 "用实验解方程" 的 设定好边界条件和初始条件...放下去... 大自然...很自然的会给你解 在他们的世界里...没有所谓存不存在的问题 因为model equation如果出现不存在的话...通常都是你的model错了... ( 另一个可能是，数学语言还不够用来描述解， e.g. delta function) 如果是model错了...也就是你的方程无法逼近现实生活... 这时候他们就不会在去研究那道方程式了... 他们会修改方程或是从新modeling 虽然我没有h大优秀...但我也是数学系出生的学生... 我无意挑战...也没能力挑战h大...(毕竟他说的很多东西我也不太董) 我只想提出一些不同的观点与想法...让这边的高中生们有不同的视野 曾经有段历史是这样的... 当数学家们还在为了delta function到底是不是函数而争论不休时 物理学家早已用...在某点上的质量有某kg... 类似的概念早已在物理界用超过百年... 当然数学也不是全部都没有好处... 数学好的话可以快速的对解定性或定量的分析出来 ( 作实验的成本觉对远大於用数学分析...如果你可以先用数学把解分析出来 那你将省下很多作实验所花的的时间与成本 ) 如果分析出来解不存在的话...还可以很快的修正model 只是我觉得...严谨的数学和直观的想法应该是相辅相成 而不是偏重哪一个...或是站在某一边攻击另一边 这样都不太好 最後跟大家分享一部我最喜欢的连续剧 "名扬四海" 在剧中的这段对话，曾经一度修改了许多我的个性和想法 「你知道什麽是看不起吗？想用自己的表准硬套在别人身上就是看不起！」 这是据中男主角之一(陈峰)在参加国际钢琴大赛前说过的话... 艇发人深省的... ※ 引述《herstein (加油～一起加油吧！)》之铭言： : 标题：微分方程与微分算子 : 本篇作於pttMath版 : 目的：希望提供一些学生微分方程方面的看法。 : 本文： : 在此我想回答一些网友(非数学专业的)关於微分算子与微分方程的一些概念。 : 微分方程的问题开始主要是来自於自然哲学(物理学)，不管是常微分方程，或是偏 : 微分方程。 : 假设x(t)表直点的位置与时间的关系，令v(t)表速度与位置的关系，那麽 : x'(t)=v(t) : x(0)=p : 描述了此物体的运动现象，而这是最简单的微分方程。随着各类科学的发展，微分 : 方程的内容也变得更多样性了。从简单的一次线性微分方程，发展到了高阶非线性 : 微分方程，通常我们可以用以下的微分方程来描述所有的微分方程： : x'(t) =f(t,x) : x(0)=p : (x可以是向量值，可以是纯量)。而f是一个实质或向量值的函数。 : 我们必须思考，这样的问题是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麽何 : 来去解他呢？但，事实上，在微分方程的历史中，刚开始数学家都是一股脑儿的用 : 很多特殊的技巧去解方程，而非先证明解的存在性。然而，能够用一些初等技巧解 : 决的方程是少之又少。於是，数学家陷入了瓶颈。 : 在方程的历史中，有一样惊人的的创作，是出自於富利叶之手的，利用三角级 : 数解决热传导的问题。当然，在那之前，数学家也思考用解析(幂级数)的方式去解 : 微分方程的问题。只是，这样做以现今数学来看，是相当不严谨的。然而，我们也 : 不得不佩服前人的智慧。另外一个着名的作品就是出自於Volterra之手，就是他利 : 用方程的方法去研究生物生态学，(是他的一位好友让他去研究义大利附近的海域鱼 : 群的生态)。接下来，微分方程渐渐地以一种专门的研究出现在数学的领域中。在那 : 之前，数学家并不会专门的去研究方程，而是在致力於解决某一类的问题，如来自 : 物理学的，来自於化学的，或是来自於几何学等等的。 : 後来，Fredeholm研究积分方程，并且提供了线性代数的方法解决积分方程的问 : 题。而这也让微分方程有了另外一种新的观点(似乎并不是新的观点)去看待。当然 : 在那同时期，恰巧是量子物理学正大肆横扫古典物理的革命时期。积分方程，微分方 : 程，到了Hilbert的手中，渐渐的融合成现今的泛函分析的起源。而解决微分方程， : 就用了线性代数的观点，就是算子的概念。回到我们之前的问题。 : x'(t) = v(t) : x(0)=p : 首先我们必须考虑的是：我们想研究的函数x(t)是属於麽样的函数？连续？可微？时 : 间的区间？解是否存在？如果我们把微分的过程视为由一个空间至另外一个空间的映 : 射，那麽这样的空间是属於哪样的空间呢？所有的可微分函数？连续的可微分函数？ : 我们当然可以很简单的说: : D^(-1){v} : 是微分算子D的preimage，但是，那必须在一个前提之下，D所定义的空间被决定。当 : 然D所定义的空间仰赖於我们所希望研究的空间。(注:利用泛函分析的方法并不是唯 : 一研究方程的方法，而是他提供了一套有系统的研究方法)。因为，并不是任何的空 : 间对我们来说都是有意义的。这也是为何会利用到Hilbert空间，或是Banach空间的 : 理由。因为在量子物理中，粒子所存在的空间就是Hilbert空间L^2(R)，或是L^2[a,b]。 : 而微分算子所定义的空间就是所谓的Sobolev空间。D的意义就给的更清楚了。 : 然而在解方程的过程中，如给定a,b,c是连续函数 : a(x)y"(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x) : y(0)=0, y'(0)=1. : 那麽微分算子(泛函分析)并不是一个简单的方式去解决这样的问题，而且是更加 : 的复杂。(对某些问题来说)，而一般工程数学上所谓的D指的并不是微分算子，是所 : 谓的符号数学(Symbolic math)。利用某些观念，或是符号可以帮助我们去解决问题， : 就如同前面有网友说的heaviside function或是Dirac function。其实在数学里面， : 他的背景就是Distribution theory。而这正是Schwarz拿fields medal的得意之作。 : 他们并不是不严谨，而是他们的背景并不是很容易，如果避掉了这些理论，用符号运 : 算去解决方程，的确是一个方便的工具。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 211.74.11.83 ※ 编辑: Mmoonshine 来自: 211.74.11.83 (07/19 04:02)