这是自己写的 所以有错的话欢迎大家指正 选择题 一 1. 1 | 1-z | = 根号 { [ 1 - cos(2π / 7) ]^2 + [ sin (2π / 7) ] ^2 } = 根号 { 1 - 2cos(2π / 7) + [cos(2π / 7)]^2 + [sin(2π / 7)]^2 } = 根号 [ 2 + 2cos(2π / 7) ] = 根号 { 2 * [ 1 + cos(2π / 7) ] } = 根号 { 2 * 2 * [ sin(π / 7) ]^2 } = 2sin(π / 7) (感谢shtmn指正) 2. 4 当x→1时∵3 - 3x - x^2 = -1 < 0 ∴ | 3 - 3x - x^2 | = x^2 + 3x -3 =>原式 = (x^2 + 3x - 3 - 4) / (x - 1) = x + 4 ∴当x→1时，原式 = x + 4 = 1 + 4 = 5 3. 5 loga1 + loga3 + loga5 + loga7 + loga9 = loga1 + log(a1 * r^2) + log(a1 * r^4) + log(a1 * r^6) + log(a1 * r^8) = log(a1^5 * r^20) = 5 + 5log2 = log(10^5 * 2^5) ----(1) 同理 loga2 + loga4 + loga6 + loga8 + loga10 = log(a1^5 * r^25) = 5 + (15/2) * log2 = log(10^5 * 2^(15/2)) ----(2) (2) - (1) 得 logr^5 = log 2^(5/2) => r = 根号2 代回(1)式可得a = 5 二 4. 1345 (2) 相关系数太低，所以不适合用直线表示 (注：第二个选项我不确定是不是因为这个原因所以不选) (3) (4) (5) X，Y分别同加、同减、同乘某数，皆不会影响相关系数 (注：以下两行为waterworld0补充) 这样解释可能会有点问题... 应该是说 x, y的相关系数如果是r ax+b, cy+d的相关系数等於 r * ac/|ac| (注：再次感谢waterworld0提供的解释) 5. 34 (1) P(x) - 2 = Q(x) * (x-3) ∴不会有共同实根 (2) 不一定，可能唯一可能多个 (3) P(x)在 x > 3时递增，所以P(x)除以(x-4)的余式大於2 (感谢DCT2指正) (4) 承上，因为P(x)不可能有大於3之实根，又五次实系数多项式至少有一实根 故一定有一小於3之实根 (5) 不一定，可能刚好是2，也可能不是 6. 235 四个式子化简後分别为： 3x - 9 = 2y - 10 => 3x - 2y + 1 = 0 y - 5 = 3z - 12 => y - 3z + 7 = 0 x = az - 2a => x - az + 2a = 0 y + 1 = 3z - 6 => y - 3z + 7 = 0 | 3 -2 0 | △ = | 0 1 -3 | = -3a + 6 | 1 0 -a | △x = -42a △y = -3a + 3 △z = 6a - 15 此方程式有解 => a不能等於2 同时此方程式有唯一解 (x,y,z) = (△x/△,△y/△,△z/△) (3) (4) (5) 任两个平面有无穷多组解 (感谢DM24Tim指正) 7. 245 A是对x轴镜射，B是旋转60°，同时A^2 = I (1) 先镜射再旋转不会等於先旋转再镜射 (2) A^2B = B ， BA^2 = B (3) A^11B^3 = AB^3 = 镜射後旋转180° B^6A^5 = B^6A = 旋转360°後镜射 = 镜射 两者不同故不选 (4) AB^12 = 镜射後旋转720° = 镜射 A^7 = A = 镜射 (5) (ABA)^15 = ABAABAABAA.....BA = ABBBBBBBBBBBBBBBA = AB^15A (注：bbs打不出上标，本题暂用次方表示法代替) 8. 345 y' = 3x^2 + 2 > 0 故y为递增函数 (1) 递增函数所以没有最高、最低点 (2) y'恒大於0 所以没有水平切线 (3) 递增函数所以与任一水平线皆恰有一交点 (4) (a,b)代入y得 b = a^3 + 2a + 3 -a代入y = x^3 + 2x +3之x得 -a^3 + -2a + 3 = 3 - b + 3 = 6 - b (5) 将y对x=0到x=1积分可得其面积 = 17 / 4 > 4 三 A. 5 / 21 ( 5/50 ) / ( 1/50 + 2/50 + 3/50 + 4/50 + 5/50 + 6/50 ) = 5/21 B. (a,b,c) = (10 , -6 , 9) 过(1,6)且与直线4x + 3y - 14 = 0垂直之直线为 3X - 4Y + 27 = 0 (-2,7)和(1,6)之中垂线为 X - Y + 8 = 0 两者解联立可得圆心(X,Y) = (-5,3)，半径r = 根号[ (-5+2)^2 + (3-7)^2 ] = 5 圆之方程式 = (x+5)^2 + (y-3)^2 = r^2 = 25 展开之後可得(a,b,c) = (10 , -6 , 9) C. 12 令底边边长a，高h 表面积 = a^2 + 4ah = 432 => h = (432 - a^2) / 4a 体积V = a^2*h = a^2 * (432 - a^2 ) / 4a = -a^3 -432a 对a微分得-3a^2 -432 = 0 (极值发生时=0) a = ±12 (负不合) (另一解法，算几不等式，感谢DCT2) 欲求之体积V = a^2*h 表面积 = a^2 + 4ah = a^2 + 2ah + 2ah = 432 (a^2 + 2ah + 2ah) / 3 > ( a^2 * 2ah * 2ah )^(1/3) 432 / 3 > ( a^2 * 2ah * 2ah )^(1/3) ( a^2 * 2ah * 2ah ) < 144^3 ← (极值发生时，a^2 = 2ah = 144 => a=12 ) ( 4a^4 * h^2 ) < 12^6 ( 2a^2 * h ) < 12^3 => a^2 * h < 864 (注：本题另解中的大於及小於，请自行加上等号变为大於等於及小於等於) 非选择题 一 (1) -2,3,5 由牛顿因式检验法可得 x = ±1 ±2 ±3 ±5 ±6 ±10 ±15 ±30 慢慢试 找出其中一个之後再因式分解即可得解 (2) 15根号3 / 28 c^2 = a^2 + b^2 -2abcos120° = 3^2 + 5^2 -2*3*5*(-1/2) =49 => c=7 BE = AB - AE = 7 - 5 = 2 AD = AB - BD = 7 - 3 = 4 DE = AB - AD - BE = 7 - 4 - 2 = 1 △ABC面积 = (1/2) * a * b * sin120° = 15根号3 / 4 △CDE面积 = 1/7 △ABC面积 = 15根号3 / 28 二 (1) x+y+z-20=0 (参考udn解答) AB向量(1,3,-4)，AC向量(1,0,-1) 法向量 n = (1,1,1) 令平面x+y+z+k=0 代入 (10,7,3)可得k=-20 即该平面为x+y+z-20=0 (2) (3,9,8) 到A,C等距 (x+2)^2 + (z-15)^2 = (x-10)^2 + (z-3)^2 4x + 4 -30z +225 = -20x + 100 - 6z + 9 24x - 24z + 120 = 0 => x - z + 5 =0 到B,C等距 化简可得 x - y + 6 = 0 此二式和(1)所解得之平面方程式三式解联立 便可得到(x,y,z) = (3,9,8) -- ╭══════╮　　　　╭═╮ ╰══════╯　　　　║　║ ╭══════╭════╯　╭══════╭══════╭══════╮ ║　　　　　　║　　╭╮　　║　　╭╮　　║　　╭╮　　║　　╭╮　　║ ║　　　　　　║　　╰╯　　║　　╰╯　　║　　╰╯　　║　　╰╯　　║ ╰══════╰══════╰══════╰══════╰══════╯ --

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